Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.
Категорные основания логики
Витгенштейн Л.
«Логико-философский трактат»
«Для ответа, который невозможно высказать, невозможно также высказать и вопрос.»
8 сентября 1942 года два математика Самюэль Эйленберг и Сандерс Маклейн представили Американскому математическому обществу доклад по названием «Общая теория естественных эквивалентностей».
Изначально идея теории родилась из желания ученых иметь некоторый автономный контекст, в котором бы наиболее очевидным образом могло быть выражено понятие естественного преобразования – такого семейства правил, которые в ряде случаев обнаруживают значительное единообразие при переходе от одной интерпретации к другой. Под «интерпретацией» здесь нужно понимать специального вида отношение, в котором могут оказаться две на первый взгляд совершенно между собой не связанные области знания. Это отношение носит название функториального, а правило, которым данное свойство строго определяется, называют функтором.
Разумеется, Эйленберг и Маклейн обнаружили такое единообразие переходов в различных областях знания математического – таких, например, как теория множеств, теория групп или коммутативных колец, линейная алгебра, топология и т. д. Но удивительным образом разработанная ими теория, получившая название теории категорий...., со всем ее понятийным аппаратом почти немедленно нашла себе применение, далеко выходящее за пределы одной лишь математики. В частности, оказалось, что, будучи переформулированными на языке теории категорий, становятся гораздо более очевидными многие аспекты формальной логики.
Строгое определение функтора будет дано ниже. Неформально же говоря, функториальным называют такое отношение, которое не просто ставит в некоторое осмысленное соответствие объектам одной области знания объекты из другой области, но и согласованно действует на отношениях, которые существуют между объектами внутри каждой из этих областей.
Samuel Eilenberg
Saunders Mac Lane
Определение и примеры категорий см. Здесь
И это неудивительно, поскольку графическое изображение стрелки смещает акцент с формул и вычислений числовых значений на некоторое абстрактное правило сопоставления элементов одного множества элементам другого, а еще шире  всего лишь указывает на наличие некоторого (необязательно функционального) отношения между объектами произвольной, вообще говоря, природы. Как говорится, символика породила концепт  концепт категории.
Читайте другие наши статьи по теории категорий здесь:
Раздел «Теория категорий»
Такое «правило сопоставления» можно
сколь-угодно обобщать дальше, и требование его функториальности  это лишь естественное желание некоторой разумной согласованности: если между объектами уже были установлены какие-то отношения, и мы хотим сопоставить одним объектам какие-то другие объекты, между которыми тоже, возможно, существуют отношения, то вполне естественно потребовать, чтобы и сами эти отношения были каким-то образом согласованы. Что и приводит нас к формальному определению функтора:
id – означает тождественный морфизм. См. определение категории
Таким образом, данные множества высказываний с определенным на них отношением логического следования есть не что иное, как категории,
в которых между объектами существует не более одной стрелки.
Читайте статью в нашем словаре:
«Частично упорядоченное множество»
Мы видим, что процесс подстановки осуществляется в направлении, противоположном f : в выражение, которое осмысленно в контексте Y, подставляется выражение, осмысленное в контексте X  такой функтор принято называть контрвариантным. Но мы можем рассмотреть и функторы, действующие ковариантно  например, такие:
Задав таким образом соответствующие отображения, мы вполне корректно определим предикаты существования и всеобщности (Cм. здесь), выделяющие в Y подмножества элементов со следующими свойствами:
Читайте статью в нашем словаре:
«Квантор»
Нетрудно убедиться, что при так определенных кванторах существования и всеобщности будут иметь место следующие эквивалентности:
Действительно, используя свойства образов и прообразов функции, можно показать справедливость следующих теоретико-множественных вложений:
Следовательно,
Но что значат эти эквивалентности, с точки зрения теории категорий?
Такая ситуация в теории категорий носит название ситуации сопряжения, а функторы, ее создающие – сопряженными.
является изоморфизмом.
К вопросу естественности α мы еще вернемся.
Cитуация сопряжения оказывается одной из фундаментальных в теории категорий, и именно данная неожиданно глубокая идея Уильяма Ловера..., что ВСЕ! логические операции должны возникать как сопряжение к некоторым базовым функторам между категориями, убедила математиков в том, что категорный анализ логики может оказаться чрезвычайно продуктивным и правильным.
Уильям Ловер (англ. Francis William Lawvere, 9 февраля, 1937)  американский математик, известный своими работами по теории категорий, теории топосов и философии математики.
William Lawvere
В литературе можно часто встретить сравнение функторного сопряжения двух категорий со словарем, позволяющим осуществлять перевод с одного языка на другой. Но в случае перевода, например, с английского на французский (и обратно), когда языки в целом можно считать одинаково экспрессивными, хороший словарь также обеспечивает практически симметричную трансляцию смыслов между этими языками.
Проиллюстрируем это на несколько упрощенном примере: представим себе множество повторяющихся звуков, которые производит годовалый ребенок. Взрослый тоже производит множество повторяющихся звуков, и в каком-то смысле мы можем посмотреть на речевую деятельность взрослого тоже как на производство множества упорядоченных звуков, хотя точнее будет все-таки называть упорядоченные звуки взрослого словами, которые могут образовывать суждения, которые, в свою очередь, бывают истинными и ложными и т. д. То есть на множестве повторяющихся звуков взрослого очевидным образом наличествует некоторая весьма богатая структура, которой пока лишено множество упорядоченных звуков годовалого ребенка.
Таким образом, мы имеем нечто вроде двух категорий: C = {слова взрослого} и D = {повторяющиеся звуки}. «Переводя» речь ребенка на язык взрослого мы как бы гипотетически «поднимаем» множество производимых им звуков до статуса нашего собственного языка, допуская, что в этих звуках содержится некоторый, пускай и неизвестный нам смысл. Задаваясь вопросом о том, что мог бы значить произнесенный ребенком звук «гуга», мы как бы резервируем для него место в нашем понятийном пространстве – свободно присоединяем к нему этот звук, не имея пока ни малейшего представления о том, как он соотносится с остальным множеством издаваемых ребенком звуков. Заметим, что «перевод» в другую сторону выглядит значительно проще: мы просто начинаем рассматривать слова как повторяющиеся звуки (а мы, как уже было сказано чуть выше, всегда способны так поступить), забывая об их значении – что, собственно, годовалый ребенок, скорее всего, и делает, слыша взрослую речь.
Аналогией такой связи в теории категорий скорее будет являться изоморфизм категорий, тогда как сопряженность аналогична получению максимальной коммуникативной эффективности при переводе с языка и на язык, который может оказаться концептуально значительно более бедным (или, наоборот, обладать гораздо более богатой экспрессией). Наиболее выпукло данная «концептуальная асимметрия» проявляется в паре сопряженных функторов, которые называются, соответственно, забывающим и свободным.
На этом примере, который, разумеется, не стоит понимать слишком буквально, тем не менее отчетливо видна как упомянутая ранее ассиметричность сопряжения, так и важность направления стрелок для ее установления. Это позволяет рассматривать сопряжение как очень далеко идущее концептуальное ослабление понятия обратного функтора в ситуации категорного изоморфизма – в случае очевидно неизоморфных категорных структур мы, тем не менее, с помощью понятия сопряженности можем установить некоторую меру одинаковости двух подчас очень сильно различающихся категорий. Таким образом, можно без преувеличения сказать, что сопряженные функторы концептуально обратны друг к другу (conceptual inverses).

Читайте больше наших статей по подписке всего за 1!

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?