8 сентября 1942 года два математика Самюэль Эйленберг и Сандерс Маклейн представили Американскому математическому обществу доклад по названием «Общая теория естественных эквивалентностей».

Изначально идея теории родилась из желания ученых иметь некоторый автономный контекст, в котором бы наиболее очевидным образом могло быть выражено понятие естественного преобразования – такого семейства правил, которые в ряде случаев обнаруживают значительное единообразие при переходе от одной интерпретации к другой. Под «интерпретацией» здесь нужно понимать специального вида отношение, в котором могут оказаться две на первый взгляд совершенно между собой не связанные области знания. Это отношение носит название функториального, а правило, которым данное свойство строго определяется, называют функтором.

Разумеется, Эйленберг и Маклейн обнаружили такое единообразие переходов в различных областях знания математического – таких, например, как теория множеств, теория групп или коммутативных колец, линейная алгебра, топология и т. д. Но удивительным образом разработанная ими теория, получившая название теории категорий...., со всем ее понятийным аппаратом почти немедленно нашла себе применение, далеко выходящее за пределы одной лишь математики. В частности, оказалось, что, будучи переформулированными на языке теории категорий, становятся гораздо более очевидными многие аспекты формальной логики.

Samuel Eilenberg

Saunders Mac Lane

И это неудивительно, поскольку графическое изображение стрелки смещает акцент с формул и вычислений числовых значений на некоторое абстрактное правило сопоставления элементов одного множества элементам другого, а еще шире – всего лишь указывает на наличие некоторого (необязательно функционального) отношения между объектами произвольной, вообще говоря, природы. Как говорится, символика породила концепт – концепт категории.

Такое «правило сопоставления» можно
сколь-угодно обобщать дальше, и требование его функториальности – это лишь естественное желание некоторой разумной согласованности: если между объектами уже были установлены какие-то отношения, и мы хотим сопоставить одним объектам какие-то другие объекты, между которыми тоже, возможно, существуют отношения, то вполне естественно потребовать, чтобы и сами эти отношения были каким-то образом согласованы. Что и приводит нас к формальному определению функтора:

(См. здесь)

Таким образом, данные множества высказываний с определенным на них отношением логического следования есть не что иное, как категории,
в которых между объектами существует не более одной стрелки.

Мы видим, что процесс подстановки осуществляется в направлении, противоположном f : в выражение, которое осмысленно в контексте Y, подставляется выражение, осмысленное в контексте X – такой функтор принято называть контрвариантным. Но мы можем рассмотреть и функторы, действующие ковариантно – например, такие:

Нетрудно убедиться, что при так определенных кванторах существования и всеобщности будут иметь место следующие эквивалентности:

Следовательно,

Такая ситуация в теории категорий носит название ситуации сопряжения, а функторы, ее создающие – сопряженными.

является изоморфизмом.

Cитуация сопряжения оказывается одной из фундаментальных в теории категорий, и именно данная неожиданно глубокая идея Уильяма Ловера..., что ВСЕ! логические операции должны возникать как сопряжение к некоторым базовым функторам между категориями, убедила математиков в том, что категорный анализ логики может оказаться чрезвычайно продуктивным и правильным.

William Lawvere

В литературе можно часто встретить сравнение функторного сопряжения двух категорий со словарем, позволяющим осуществлять перевод с одного языка на другой. Но в случае перевода, например, с английского на французский (и обратно), когда языки в целом можно считать одинаково экспрессивными, хороший словарь также обеспечивает практически симметричную трансляцию смыслов между этими языками.

Проиллюстрируем это на несколько упрощенном примере: представим себе множество повторяющихся звуков, которые производит годовалый ребенок. Взрослый тоже производит множество повторяющихся звуков, и в каком-то смысле мы можем посмотреть на речевую деятельность взрослого тоже как на производство множества упорядоченных звуков, хотя точнее будет все-таки называть упорядоченные звуки взрослого словами, которые могут образовывать суждения, которые, в свою очередь, бывают истинными и ложными и т. д. То есть на множестве повторяющихся звуков взрослого очевидным образом наличествует некоторая весьма богатая структура, которой пока лишено множество упорядоченных звуков годовалого ребенка.

Таким образом, мы имеем нечто вроде двух категорий: C = {слова взрослого} и D = {повторяющиеся звуки}. «Переводя» речь ребенка на язык взрослого мы как бы гипотетически «поднимаем» множество производимых им звуков до статуса нашего собственного языка, допуская, что в этих звуках содержится некоторый, пускай и неизвестный нам смысл. Задаваясь вопросом о том, что мог бы значить произнесенный ребенком звук «гуга», мы как бы резервируем для него место в нашем понятийном пространстве – свободно присоединяем к нему этот звук, не имея пока ни малейшего представления о том, как он соотносится с остальным множеством издаваемых ребенком звуков. Заметим, что «перевод» в другую сторону выглядит значительно проще: мы просто начинаем рассматривать слова как повторяющиеся звуки (а мы, как уже было сказано чуть выше, всегда способны так поступить), забывая об их значении – что, собственно, годовалый ребенок, скорее всего, и делает, слыша взрослую речь.

Аналогией такой связи в теории категорий скорее будет являться изоморфизм категорий, тогда как сопряженность аналогична получению максимальной коммуникативной эффективности при переводе с языка и на язык, который может оказаться концептуально значительно более бедным (или, наоборот, обладать гораздо более богатой экспрессией). Наиболее выпукло данная «концептуальная асимметрия» проявляется в паре сопряженных функторов, которые называются, соответственно, забывающим и свободным.

На этом примере, который, разумеется, не стоит понимать слишком буквально, тем не менее отчетливо видна как упомянутая ранее ассиметричность сопряжения, так и важность направления стрелок для ее установления. Это позволяет рассматривать сопряжение как очень далеко идущее концептуальное ослабление понятия обратного функтора в ситуации категорного изоморфизма – в случае очевидно неизоморфных категорных структур мы, тем не менее, с помощью понятия сопряженности можем установить некоторую меру одинаковости двух подчас очень сильно различающихся категорий. Таким образом, можно без преувеличения сказать, что сопряженные функторы концептуально обратны друг к другу (conceptual inverses).