Из этого определения следует единственность терминального объекта, с точностью до изоморфизма. В категории множеств терминальным объектом является одноэлементное множество.

Заметим, что в теории категорий любые утверждения о единственности могут делаться лишь с этой оговоркой. Вообще изоморфизм двух объектов может быть установлен несколькими способами – в случае же изоморфизма терминальных объектов такой изоморфизм также единственнный. Терминальный объект часто обозначают как 1.

Аналогично доказывается существование единственного изоморфизма между двумя любыми начальными объектами.

Произведение и копроизведение

Несколько примеров произведений в разных категориях помогут прояснить то, насколько универсальной и несодержательной является идея категорного продукта (от англ. product – произведение), и в то же время насколько она более полно выражает тот неформальный, житейский смысл, который заложен как в русском, так и в английском слове, вбирая в себя, разумеется и произведение в привычном смысле умножения чисел:

На данном рисунке изображен фрагмент из категории множеств: множество, состоящее из шести элементов, и две проекции из него, соответственно, в трех- и двухэлементное множества, произведением которых оно и является. Сразу замечу, что копроизведение тех же множеств, которое еще иногда называют прямой суммой, будет, как и положено обычной сумме, состоять из пяти элементов.

Но вот если мы обратимся к категории групп и рассмотрим то, как устроено произведение там, то мы увидим, что:

Во-вторых, хотя произведение двух циклических групп C₂ и C₃ как и в случае обычного произведения, и будет изоморфно циклической группе из шести элементов, но уже для групп C₂ и C₄ это неверно: число элементов результирующей группы сохранится (порядок этой группы будет равен восьми), но закон композиции изменится — групповая операция теперь будет переставлять элементы произведения по двум одинаковым циклам длины 4.

Во-первых, в случае конечного числа сомножителей произведение групп будет изоморфно их прямой сумме.

Говоря совсем неформально, умножая группы поворотов в плоскости отрезка и квадрата, мы получим группу вращений куба вокруг его вертикальной оси в пространстве: понятно, что при таких вращениях ни одна из нижних вершин не сможет перейти в верхнюю.

На ту же конструкцию можно посмотреть и еще одним способом: как на произведение множеств в категории так называемых динамических систем – множеств с заданными на них автоморфизмами (обратимыми отображениями этих множеств в себя).

Произведение в категории динамических систем интересно ещё и тем, что с его помощью можно очень наглядно продемонстрировать одно из самых фундаментальных свойств движения, которое было открыто еще Галилеем:

информация о законе сложного движения тела в пространстве целиком содержится в его составляющих — например, в движении по вертикальной оси и в движении в горизонтальной плоскости.

В терминах категорных произведений это означает, во-первых, что пространство можно получить умножением прямой линии и плоскости (или категорным перемножением трёх прямых), а такую геометрическую фигуру как цилиндр - умножением отрезка и окружности в соответствующих категориях:

Как и в случае с группами, произведение конечного числа подпространств в большинстве категорий изоморфно их сумме.

Ещё одним характерным примером произведения в категории динамических систем может быть умножение таких обектов как «дни», состоящего, как можно догадаться, из бесконечного числа элементов, и состоящего всего из семи элементов объекта «дни недели».

На обоих объектах естественным образом задается автоморфизм «завтра», сдвигающий элементы обоих множеств на день вперёд:

Произведением этих объектов будет следующая бесконечная спираль:

Еще один, очень изящный и очень характерный для теоретико-категорных доказательств ход состоит в том, чтобы показать, что объект одного вида является объектом некоторого другого вида в какой-то другой категории, а про него мы, допустим, уже что-то знаем.

Например, выше мы уже доказали, что два терминальных объекта в категории совпадают с точностью до единственного изоморфизма. Если мы сможем указать категорию, в которой терминальным объектом будет произведение, то мы тем самым докажем наличие столь же тесной структурной связи и у любых двух, так сказать, «категорных продуктов». Оказыватеся, это действительно можно сделать.

Рассмотрим очень специального вида категорию, объектами которой будут объекты произвольной категории С, но снабженные парой стрелок в два выделенных объекта – B₁ и B₂:

А теперь зададимся вопросом: чем должен быть терминальный объект в нашей ad hoc категории, чтобы попросту соответствовать его определению?

То есть, это в точности произведение. И тем самым мы свели теорему о единственности произведения к следствию из теоремы о единственности терминальных объектов.

такой, что для любого

Это должен быть объект

существует единственная

другого объекта

.

стрелка из

в

Мы рассмотрели довольно много примеров, в которых некоторые объекты категории выделялись каким-то особенным свойством. Сейчас я хочу отметить, что и сам способ выделения того или иного свойства тоже был особенным – это было указание на интересующий нас объект с последующим утверждением, что для любого другого «чего-то» существует единственное «что-то». Во всех таких случаях говорят, что данный объект обладает универсальным свойством, или что данный объект есть универсальная конструкция, поскольку в исчислении предикатов первого порядка эта фраза о «любом другом чем-то» носит название квантора всеобщности (universal quantification).

Все эти объекты в каком-то смысле тривиальны – если смотреть на них с одной стороны.

Например, в терминальный объект существует всего одна стрелка – что может быть проще. Но стрелки из терминального объекта в другую сторону, как мы помним, дают нам важную, хоть и косвенную информацию об объекте – такие стрелки мы называли точками.

Более детализировано устройство стрелки «+» можно было бы изобразить по-другому:

Но мы можем нажимать и разные кнопки, поэтому действие объекта В на Х представляет из себя целый репертуар процедур – по одной на каждый элемент В, во-первых, а, во-вторых, последовательное нажатие двух различных кнопок – скажем, b₁ и b₂ создает возможность вызова новой процедуры α (α(−, b₁), b₂): X ⟶ X, и по тем же соображением новую процедуру будет задавать любая конечная последовательность элементов В.

Наиболее общим, разумеется, будет случай стрелки из произведения, при котором все три организующих нее объекта различны:

К данному моменту нами сказано достаточно, чтобы, наконец, мы смогли сформулировать и доказать одно очень глубокое и важное утверждение.

В любой категории с произведениями верна следующая Диагональная теорема.

Диагональная теорема: Если объект Т содержит достаточно точек t: 1 ⟶ T для существования единой параметризующей стрелки вида f(–, t): T ∙ T ⟶ Y, то любой эндоморфизм α: Y ⟶ Y необходимо содержит по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. ∃y: 1 ⟶ Y 0000α(y) = y.

При этом ∀t: 1 ⟶ T 00g(t) = α(f(t, t))

Доказательство:

Ну что, тут уже появились какие-то эндоморфизмы и неподвижные точки, а где же теорема Кантора?

Вернемся к тому, как она была нами изложена и доказана ранее в Нашем Словаре.

Прочитать про теорему Кантора можно здесь:

Статья «Диагональный аргумент»

Во-первых, диагональный аргумент, с которого все началось, станет гораздо прозрачнее, если мы сразу же предложим так называемую контрапозитивную версию Диагональной теоремы.

Диагональная теорема (контрапозитивная версия):
Если у объекта Y существует по крайней мере один эндоморфизм α: Y ⟶ Y без неподвижных точек, то пераметризация стрелок из Т в Y точками Т необходимо оставляет непараметризованной по крайней мере одну такую стрелку: то есть

∃f : T ⟶ Y f ≠ f(–, t) ∀t : 1 ⟶ T.

Эта стрелка f – и есть та функция, которую строит Кантор в ходе своего доказательства, а эндоморфизм без неподвижных точек – это требование замены каждого элемента стоящей на диагонали последовательности на какой-то другой, новый.

Тем самым Кантору удается показать, что если ни один элемент мы не оставляем на месте, то мы необходимо получаем последовательность не из нашего списка.

Прямой вариант Диагональной Теоремы в этом смысле совершенно конструктивно указывает: если f(n) = f(n, n₀) для некоторого номера n₀: 1 ⟶ N, то именно самим своим построением диагональная стрелка на этом элементе n₀ гарантирует его неподвижность под действием эндоморфизма α:

Более того, поскольку любое множество подмножеств имеет мощность, строго большую мощности исходного множества, теорема Кантора гарантирует нам существование башни из бесконечно растущих мощностей, которую условно можно изобразить следующим образом: