А точно все помнят, что функция – это правило, по которому каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие ровно один элемент другого (возможно, того же самого) множества?

Мне кажется, мы часто забываем, что такими множествами могут и не быть числа – а ими вполне могут оказаться, ну, скажем, какие-нибудь звери и их любимая еда.

Или вот мы с легкостью говорим: функция y = sin x. И как само собой разумеющееся принимаем, что это правило действует из множества действительных чисел в себя.

Ну и действительно: самый наглядный способ представить себе синус любого угла – это вообразить себе закрепленный одним концом поворачивающийся стержень длины 1 и выходящие из центра вращения координатные оси. И сказать, что каждому углу поворота стержня будет соответствовать какая-то длина его проекции на ось У (косинусом будет проекция на ось Х). Ну и понятно, что и угол, и длина проекции – это какие-то действительные числа.

Но точно ли только они? Да и вообще – правило-то мы считаем заданным для всех чисел, но чему равен синус семи градусов, например? Или трех. И как считают эти значения калькуляторы?

Уверен, что английский математик Брук Тэйлор задавал себе примерно такие вопросы, несмотря на то, что жил гораздо раньше калькуляторов.

Как бы там ни было, именно им был разработан математический аппарат, позволяющий с помощью четырех арифметических действий (с которыми, пускай, и не мы, но калькуляторы-то точно справляются) посчитать значение таких вот «загадочных» функций в любой точке с любой степенью точности.

Brook Taylor

Аппарат этот называется «разложением функции в степенной ряд в окрестности данной точки».

Давайте подумаем, какие следует наложить требования для корректного определения коэффициентов?

Оказывается, все эти n + 1 условие довольно несложно выполнить. Сначала заметим, что

Немного «причесав» это все, получаем искомый многочлен:

В частности, большинству читателей должно быть уже известно, что производная экспоненты равна самой экспоненте, производная синуса – косинусу, а косинуса – синусу, взятому со знаком минус. Другими словами, у них производные можно брать бесконечно.

Это значит, что все три функции в окрестности нуля... могут быть представлены своим бесконечным степенным рядом:

C экспонентой, наверное, тут вообще все понятно, ну, а синус и косинус имеют такое разложение, поскольку производные четного порядка у синуса и нечетного у косинуса оказываются равны, c точностью до знака, синусу, значение которого в нуле нулю же и равно. Последовательность чередования знаков тоже легко устанавливается, если проследить за тем, как меняются знаки у соответствующих производных.

Но вот оказывается, что экспонента может быть представлена своим рядом Тейлора и в комплексной плоскости (такие функции называются голоморфными), то есть

Но выражения в скобках – это в точности бесконечные ряды Тэйлора для косинуса и синуса! Из чего, собственно, и следует знаменитая формула Эйлера: