Условным называется сложное суждение вида «Если А, то В».

Иначе его еще называют гипотетическим суждением, потому что суждение А выполняет в нем роль некоторой гипотезы. Например: если ускорение свободного падения зависит от массы тела, то более тяжелое тело с массой М1 будет двигаться быстрее, чем более легкое – с массой М2.

Тот факт, что мы убеждены в истинности всего суждения, еще ничего нам не сообщает об истинности самой гипотезы. Более того, истинность данного сложного гипотетического суждения следует из множества фактов, которые мы также считаем истинными. Ну, например, что движение происходит в течение какого-то времени, что за это время тело с большей массой успеет быстрее разогнаться и т. п.

Далее мы можем рассмотреть систему из двух тел с массой М = М1 + М2 и, опять-таки в предположении истинности нашей гипотезы, заключить, что такая система будет иметь еще большую скорость. Но такое заключение противоречит закону сложения скоростей, в соответствии с которым данная система тел должна двигаться медленнее. И если у нас нет оснований сомневаться в истинности закона сложения скоростей, то мы будем вынуждены отвергнуть нашу гипотезу, приняв за истинное другое суждение: ускорение свободного падения НЕ зависит от массы тела.

Свойство кажется очевидным, но в принципе можно было бы задаться вопросом: а почему, собственно, когда мы перемножаем между собой каких-то два достаточно больших простых числа, то у их произведения не появляется новых делителей?

Строгий математический (логический) ответ получается по правилу modus ponens следующим образом: cуществует значительно более общее доказанное гипотетическое суждение: если множество является кольцом главных идеалов (А), то в нем выполняется основная теорема арифметики (В). Можно также показать, что множество целых чисел действительно есть кольцо главных идеалов (А) (сейчас неважно, что это такое – кольцо главных идеалов). И лишь из одновременной истинности суждения А и гипотетического суждения «Если А, то В» следует истинность заключения В.

Усложнимся еще немного.

Гипотеза Пуанкаре формулируется так: всякое односвязное компактное многообразие без края гомеоморфно сфере.

Jules Henri Poincare

Какие-либо гипотезы тут пока не особо просматриваются, но, тем не менее, их тут целых две. Говоря неформальным языком, здесь утверждается следующее: если поверхность можно непрерывно деформировать до сферы, то это означает, что в ней не было дырок. Верно и обратное: если поверхность не имеет дырок, то ее можно непрерывно деформировать до сферы.

Теперь оба этих гипотетических суждения являются доказанным геометрическим фактом (и справедливы в любом числе измерений).

При ряде допущений им могут воспользоваться физики-космологи: например, приняв истинность теории большого взрыва (непрерывная деформация пространства из сингулярной точки), сделать ряд выводов о том, как может быть устроено наше пространство: например, что Вселенная не имеет формы бублика, кренделя или трехмерной бутылки Клейна, она конечна, неориентируема, в ней отсутствуют дырки и т. п.

Я надеюсь, что приведенные мной примеры хотя бы немного прояснили различие между истинностью какого-либо сложного (в данном случае сложенного из двух) гипотетического (условного) суждения и истинностью составляющих его простых суждений. Стратегическая значимость данного различия явным образом выражается в следующем фундаментальном результате теории доказательств:

Теорема дедукции. Если в теории Т + А выводимо В, то в теории Т выводима импликация «если А, то В». Обратное тоже верно.

Под теорией Т здесь понимается любое множество аксиом и теорем, полученных из них посредством разрешенных в теории правил вывода. Соответственно, теория Т + А – это множество тех же теорем Т с добавленной к этому множеству аксиомой А, т. е. некоторой гипотезой. Последнее обстоятельство означает, что теория Т + А, вообще говоря, является фиктивной теорией, поскольку добавление гипотезы А вполне может превратить ее в противоречивую или несостоятельную теорию. Другими словами, это означает, что тогда как В выводимо в некотором выдуманном, гипостазированном мире, то условное суждение «если А, то В» истинно уже в мире реальном! Таким образом, мысленное перенесение в некоторый воображаемый мир зачастую позволяет нам гораздо лучше рассмотреть то, что находится в окружающей нас действительности.

Сказанное очень хорошо иллюстрирует последний, самый «утилитарный» и, одновременно, самый «научный» пример.

В конце 18го века астрономы стали фиксировать так называемые «возмущения орбиты Урана» – некоторые отставания или опережения от расчетного положения недавно обнаруженной ими новой планеты. К первой половине 19 века в распоряжении ученых оказались таблицы положения Урана, рассчитанные на много лет вперед, однако данные, сделанные на протяжении последующих десяти лет наблюдений, все больше и больше расходились с расчетными данными таблиц. В качестве причин, предположительно объясняющих «проблему Урана», было предложено пять основных гипотез, авторство одной из которых приписывают русскому астроному Андрею Лекселю. Он предположил, что на траекторию движения Урана воздействует неизвестный объект, орбита которого расположена еще дальше от Солнца. В качестве альтернативных объяснений предлагались:

Каждая из пяти гипотез могла быть использована в гипотетическом суждении: если верно Х, то отклонения орбиты Урана согласуются с имеющимися данными наблюдений.

Но этих наблюдений было крайне мало, чтобы остановиться на какой-то из гипотез, не говоря уже о том, чтобы на их основе очертить вероятный район поисков предполагаемой планеты, которые могли бы быть закончены в разумные сроки. И только во многом романтическая вера в наиболее интригующую гипотезу русского академика позволила группе ученых продолжать делать наблюдения и собирать недостающие данные, и их деятельность по сбору данных совершенно определенным образом организовывалась конкретным гипотетическим суждением, в истинность которого они верили: «если бы на такой-то орбите находилась бы такая-то планета, то мы, помимо уже имеющихся отклонений, должны были бы наблюдать там-то и там-то то-то и то-то».

Это был гигантский и во многом авантюрный труд, но тем не менее 31 августа 1846 года сотрудник Парижской обсерватории Урбен Леверье представил в Парижскую Академию наук статью под названием: «О планете, которая производит наблюдаемые в движении Урана аномалии. Определение её массы, её орбиты и её нынешнего положения», а 24 сентября того же года в 0 часов 0 минут и 14 секунд два немецких астронома – Иоганн Галле и его 24-летний помощник Генрих д’Арре – обнаружили на небе неизвестную планету в месте, отличающемся от предсказанного Леверье менее, чем на один градус! Несмотря на то, что право дать название планете по традиции принадлежало тому, кто ее первым обнаружил, мировое научное сообщество единодушно расценило открытие новой планеты как исключительную заслугу Леверье, который и предложил назвать ее Нептун.

Urbain Le Verrier

Johann Galle

Heinrich d'Arrest

В современном математическом мире работа в предположении верности или ложности той или иной остающейся открытой гипотезы или аксиомы, независимой от остальных аксиом той или иной теории, является чрезвычайно распространенной. Пожалуй, два самых хрестоматийных примера – это гипотеза Римана и континуум-гипотеза.

Первая не доказана и по сей день, но математики, верящие в то, что она справедлива, продолжают доказывать теоремы как если бы гипотеза была верна. Их формулировки в точности так и звучат: «Если гипотеза Римана верна, то выполняется то-то и то-то...»

Помните теорему Рибета из нашей предыдущей статьи, посвященной переднему краю науки – «если истинна гипотеза Таниямы-Шимуры, то истинна и Великая теорема Ферма»? Вот еще один типичный пример гипотетического суждения, доказательство истинности которого превратило его в упомянутую теорему. Но над самой гипотезой Таниямы-Шимуры бился уже, как мы помним, Эндрю Уайлз.

Andrew John Wiles

Независимость континуум-гипотезы от остальных аксиом теории множеств доказал Пол Коэн. Напомним, что континуум-гипотеза – это утверждение о том, что мощность множества действительных чисел является следующей за мощностью множества чисел натуральных, между ними нет промежуточных мощностей. Соответственно, отрицание
континуум-гипотезы – это утверждение о том, что такие промежуточные мощности есть.

Paul Joseph Cohen