Слово «лайфхак» от англ. лайф (life) – жизнь и хак (hack) – взломать, при дословном переводе означает «взлом жизни», реальное же значение этого слова можно описать так: короткий путь, позволяющий упростить получение конечного результата.

Получается, что математика должна приветствовать лайфхаки, так как все в ней стремится к упрощению, и сама цель математики – упростить взаимодействие с окружающим миром, который является бесконечно сложным. Однако тут кроется опасность. Каждый шаг, приводящий к упрощению вычислений в математике, понятен, обоснован и доказан, тогда как современные лайфхаки, зачастую, не объясняются, а просто выглядят как магия, которая почему-то работает именно так.

Пользуясь такими приемами, человек скорее открещивается от понимания и рискует пройти мимо тех умений, которые сокращает лайфхак. В то же время, если разобраться и понять, как именно работает лайфхак, то наш мозг не теряет нужных навыков, а высвобождает время для других, более сложных действий. Мы же с вами стараемся повышать эрудированность и понимание происходящего, поэтому подробно разберем несколько лайфхаков, а вопрос о применимости оставим на суд читателя.

Перед тем как рассказывать о лайфхаках в математике, поговорим о том, как внедрить сами лайфхаки. Тут надо совсем ненадолго заглянуть в психологию человека. Вне зависимости от осознания, что лайфхак удобен и короток, нашему мозгу простым кажется не тот путь, который занимает меньше времени или усилий в принципе, а тот, который в большей степени доведен до автоматизма. Проще говоря, мозгу кажется простым тот путь, который мы уже умеем воплощать в данный конкретный момент или с элементами которого мы наиболее знакомы.

Если же мы хотим начать экономить время путем лайфхаков, достаточно осознания нескольких простых вещей:

Начать следует с самого простого и одновременно нужного лайфхака. Строго говоря, для того, кто постоянно сталкивается с любыми расчетами, это даже не лайфхак, а необходимое умение. Тем не менее, кому-то эти приемы могут существенно упростить жизнь.

Для более эффективного сложения (оно же вычитание, которое есть сложение с отрицательными числами) нужно вспомнить, что мы можем добавить нужное нам число, а затем, чтобы получить верное равенство, нужно будет прибавить обратное ему число (со знаком минус). Таким образом мы можем получить более удобные вычисления.

396 + 47 = 443

сам по себе несложный пример, но может быть удобно сделать следующее:

396 + 47 = 396 + 4 − 4 + 47 = 400 + 47 − 4 = 447 − 4 = 443

Также можно разбивать числа на слагаемые и складывать поэтапно, получая несколько «удобных» чисел:

218 − 139 = 218 − 18 − 100 − 21 = 200 − 100 − 21 = 100 − 21 = 79

218 − 139 = 218 − 18 − 100 − 21 =
= 200 − 100 − 21 = 100 − 21 = 79

396 + 47 = 396 + 4 − 4 + 47 =
= 400 + 47 − 4 = 447 − 4 = 443

Комбинируя два этих приема, можно делать в уме довольно замысловатые вычисления, главное не запутаться, что мы прибавили, а что отняли, чтобы затем восстановить равновесие, но это уже дело тренировки:

218 − 139 = 218 + 2 − 2 − 139 − 1 + 1 =
= 220 − 140 − 2 + 1 = 220 − 20 − 100 − 20 − 1 =
= 200 − 100 − 20 − 1 = 100 − 20 − 1 = 80 − 1 = 79

Получилась длинная цепочка, но состоящая из очень простых шагов.

218 − 139 = 218 + 2 − 2 − 139 − 1 + 1 = 220 − 140 − 2 + 1 = 220 − 20 − 100 − 20 − 1 = 200 − 100 − 20 − 1 = 100 − 20 − 1 = 80 − 1 = 79

Для упрощения процесса умножения достаточно освежить операцию раскрытия скобок:

85 ∙ 28 = (80 + 5) ∙ 28 = 80 ∙ 28 + 5 ∙ 28 = 80 ∙ (20 + 8) + 5 ∙ (20 + 8) = 80 ∙ 20 + 80 ∙ 8 + 5 ∙ 20 + 5 ∙ 8 = 1600 + 640 + 100 + 40 = 2380

85 ∙ 28 = (80 + 5) ∙ 28 = 80 ∙ 28 + 5 ∙ 28 =
= 80 ∙ (20 + 8) + 5 ∙ (20 + 8) =
= 80 ∙ 20 + 80 ∙ 8 + 5 ∙ 20 + 5 ∙ 8 =
= 1600 + 640 + 100 + 40 = 2380

В предыдущем примере разумно применить еще один маленький трюк. Чтобы умножить на 5, достаточно разделить на 2, а затем умножить на 10. Чтобы разделить на 5, нужно умножить на 2, а затем разделить на 10. Действительно:

и аналогично:

То есть, в нашем примере:

28 ∙ 5 = 28 ÷ 2 ∙ 10 = 14 ∙ 10 = 140

Еще интересно умножать на 9 и на 11. Для умножения любого числа на 9 достаточно умножить на 10, а затем вычесть из результата это же число:

48 ∙ 9 = 480 − 48 = 432

По аналогии для умножения на 11 нужно умножить на 10 и прибавить еще раз это число:

434 ∙ 11 = 4340 + 434 = 4774

Для 11 существует и более красивый лайфхак.

4 ∙ 11 = 44

Чтобы умножить однозначное число на 11 достаточно написать его два раза подряд, это и будет умножением на 10 и прибавлением числа еще раз:

9 ∙ 11 = 99

Чтобы умножить двузначное число на 11 достаточно между цифрами двузначного числа написать их сумму, а если она больше 9, то прибавить 1 к числу сотен:

45 ∙ 11 = 4[4 + 5]5 = 495

89 ∙ 11 = 8[8 + 9]9 = 979

здесь сумма больше 9 – увеличиваем разряд сотен:

Понять, как это работает, несложно, достаточно записать умножение двузначного числа на 11 в столбик:

Для того, чтобы возвести в квадрат двузначное число, которое имеет 5 на конце, достаточно сделать следующее: умножить первую цифру на следующее за ней число, а затем приписать справа 25:

Это работает и с большими числами:

Для того чтобы понять, как это работает, нужно немного преобразовать квадрат числа:

Можно записать и в более общем виде. Пусть a – количество десятков в возводимом в квадрат числе, тогда:

Таким образом, количество сотен в получаемом числе равно a(a + 1), а на конце числа – 25.

Сразу сделаем оговорку, что этот лайфхак еще относится к простым и работает в том случае, когда мы знаем, что искомый квадратный корень – целое число.

Такие случаи часто встречаются, например, на ЕГЭ или ОГЭ у школьников, когда нужно вписать ответ в специальное поле. Как извлекать более сложные и иррациональные корни, будет описано ниже.

Для начала нам пригодятся все квадраты первых чисел до 10:

Заметим, что квадраты могут оканчиваться только на шесть цифр, пять из которых повторяются зеркально от 5.

Алгоритм такой: отбрасываем у данного числа две цифры справа и определяем между каких квадратов находится оставшееся число – это даст нам цифру десятков квадратного корня (сразу нужно обратить внимание, к какому квадрату оно ближе). Затем смотрим на цифру разряда единиц исходного четырёхзначного числа и определяем вторую цифру искомого корня по таблице.

Если вы забыли таблицу квадратов и хотите найти корень трёхзначного числа, то этот метод работает аналогично. Для пяти- и шестизначных чисел его также можно применять, только квадратный корень теперь окажется трёхзначным, и будет сложнее найти, к какому из квадратов ближе число, оставшееся после отбрасывания двух правых цифр. Но если, к примеру, у вас будет перед глазами таблица квадратов двузначных чисел, то трехзначный корень найти довольно просто.

Переходим к более сложным, но и более универсальным лайфхакам.

Продолжая тему извлечения квадратного корня, рассмотрим алгоритм для произвольного целого числа на примере 1764.

Шаг 1. Извлечем квадратный корень из первого разряда с недостатком:

Полученная цифра – первая цифра искомого числа.

Шаг 2. Возведем полученную цифру в квадрат и вычтем полученное число из первого разряда, как при делении «уголком»:

Шаг 3. Снова как при делении «уголком», припишем к результату вычитания справа две цифры следующего разряда. На этом сходство с делением закончится – ставим вертикальную черту и слева от нее пишем результат умножения числа после знака «равно» (состоящего из тех цифр искомого числа, что известны на данный момент) на 2, а к этому результату справа и под ним ставим точку, символизирующую следующую цифру искомого числа:

Искомую цифру находим следующим образом: это наибольшая цифра k, такая что [8k] ∙ k ≤ 164. В нашем примере это цифра 2.

Шаг 4. Проводим горизонтальную черту и записываем результат вычитания 164 − [8k] ∙ k:

При необходимости шаги 3-4 повторяются.

На первый взгляд, алгоритм довольно сложный и не интуитивный. Чтобы запомнить его и использовать при случае, разберем как он работает.

На первом шаге мы как раз определяем число a.

1764 = 1600 + 164

Тогда для b верно:

Именно это выражение, наряду с геометрической интерпретацией, хорошо иллюстрирует, почему нужно удваивать найденную цифру результата, а также почему мы ищем следующую цифру в виде [8k] ∙ k.

Рассмотрим еще пару примеров, для закрепления. С помощью этого алгоритма можно извлекать и корни из трёхзначных чисел:

Извлечем также квадратный корень числа из предыдущего раздела:

Для начала вспомним деление натуральных чисел. При делении a на b находим такие q (частное) и r (остаток), что:

a = bq + r, 0 ≤ r < b

Это же можно применить и к многочленам. При делении многочлена a(x) на b(x) находим такие q(x) (частное) и r(x) (остаток), что:

a(x) = b(x)q(x) + r(x), причем степень многочлена r(x) строго меньше степени b(x).

Иногда бывает полезно разделить многочлен на многочлен для того чтобы понять, можно ли сократить дробь. Например, при решении уравнения:

На знаменатель сократить можно, так как он никогда не обращается в ноль, однако разложение на множители числителя неочевидно. Поэтому разделим многочлен на многочлен. Для этого расположим многочлены так, как при делении уголком:

Важно представить делимое в каноническом виде, то есть по убыванию степеней, кроме того отсутствующие степени следует записать с нулевыми коэффициентами.

Делим старший член делимого на старший член делителя, а полученное частное ставим в строку для результата. Затем умножаем частное на делитель и записываем результат по степеням под делимым, как при делении «уголком», а затем проводим вычитание и сносим следующий член делимого:

Повторяем для полученного многочлена:

И еще раз:

Таким образом, многочлен в числителе исходного уравнения можно разложить на множители:

и вместо корней многочлена четвертой степени искать корни квадратного уравнения.

Разумеется, возможен и такой вариант, при котором многочлен делится на многочлен с остатком.

Таким образом,

В статье о математических лайфхаках мы совершенно не можем пройти мимо геометрических преобразований графиков функций.

Для начала рассмотрим почти все возможные геометрические преобразования.

А) Сжатие и растяжение вдоль оси абсцисс (ось 0x).

В общем случае сжатие или растяжение вдоль оси абсцисс претерпевает график функции f(kx) по отношению к f(x), то есть в том случае, когда аргумент умножен на число k. При этом если k > 1, происходит сжатие, а если 0 < k < 1 – растяжение графика. Например,

Б) Симметричное отображение относительно оси ординат (ось 0y).

Симметричным отображением функции f(x) относительно оси ординат является график функции f(−x), то есть график функции в том случае, когда аргумент меняет знак.

В) Сдвиг влево и вправо вдоль оси абсцисс (ось 0x).

В общем случае сдвиг влево или вправо вдоль оси абсцисс претерпевает график функции f(x + b) по отношению к f(x), то есть в том случае, когда к аргументу функции прибавлена некая константа b. При этом если b > 0, происходит сдвиг влево, а если b < 0 – вправо. Например,

Г) Сжатие и растяжение вдоль оси ординат (ось 0y).

Сжатие или растяжение вдоль оси ординат претерпевает график функции kf(x) по отношению к f(x), то есть в том случае, когда функция умножена на число k. При этом если k > 1, происходит растяжение, а если 0 < k < 1 – сжатие графика. Например,

Д) Симметричное отображение относительно оси абсцисс (ось 0x).

Симметричным отображением функции f(x) относительно оси ординат является график функции −f(x), то есть когда функция меняет знак.

Е) Сдвиг вверх и вниз вдоль оси ординат (ось 0y).

В общем случае сдвиг вверх или вниз вдоль оси ординат претерпевает график функции f(x) + b по отношению к f(x), то есть в том случае, когда к функции прибавлена некая константа b. При этом если b > 0, происходит сдвиг вверх, а если b < 0 – вниз. Например,

Преобразование вполне очевидно, но можно проиллюстрировать его взяв точку x = 0:

Вернемся к графикам, обещанным в начале раздела.

Процесс их построения можно разбить на несколько простых этапов.

Подготовительный этап: выделение полного квадрата.

Подготовительный этап:

Надеемся, что какие-то из приведенных алгоритмов будут вам полезны или интересны с теоретической точки зрения. Однако в заключение напомним, что механическое заучивание алгоритмов едва ли принесет практическую пользу. По-настоящему снижает вероятность ошибки и облегчает вычисления только глубокое понимание своих действий.