Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.
«Элементарное введение
в математический анализ»
«Элементарное
введение в математический анализ»
Хоть деление математического знания на алгебру, геометрию и математический анализ и является очень условным, все-таки существует некоторый признак,
по которому математический анализ выделяется
из остальной математики.
Начать можно с вопроса: что же здесь анализируется?
Если совсем коротко, то ответ будет такой: функции. Только не все подряд, а определенного вида.
Поэтому прежде, чем делать дальнейшее уточнение, поговорим о том, что такое функция.

I. Понятие функции

В самом общем виде функция — это правило,
по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы любого другого множества.
Это важно!
Иногда эти множества называют, соответственно, областью определения и областью значений функции.
А иногда — когда слово «функция» заменяют более общим понятием «морфизм» — источником (source) и назначением (target) морфизма.
Здесь есть одно важное требование,
которое отличает функцию от любых других возможных правил сопоставления элементов двух множеств:
Чтобы правило сопоставления элементов
являлось функцией,
каждому элементу первого множества должен быть сопоставлен ровно один элемент второго множества.
Требование к функции
Это не означает, что различным элементам первого множества должны обязательно быть сопоставлены различные элементы из второго множества.
Поэтому, например, вот такое незатейливое правило функцией будет:
А вот такое — уже нет:
Примечние
но и потому, что элементу а из множества А вообще не поставлен в соответствие
ни один элемент из множества В.
Заметим, что в последнем случае изображенное правило не будет функцией не только потому, что элементу b множества А поставлены в соответствие сразу два элемента из множества В,
Или по-другому:
функция — это чрезвычайно удобный способ упаковки знания
Смысл данного требования — в желании иметь определенность.
Вообще математическую функцию удобно понимать как модель некоторого контролируемого, или предсказуемого процесса — в частности, процесса репрезентации данных.
Рассмотрим в связи с только что сказанным еще один пример:
f = любимый завтрак
кофе
овсянка
тосты
яйца
Сэм
Джон
Мэри
.
В данном случае правило f
сопоставляет каждому из трех человек их любимый завтрак.
f(x) = y
То есть, «пробегая» по всем людям компании,
мы точно знаем их предпочтения, хоть они могут у некоторых людей и совпадать.
Формально это записывают так:
ее еще называют независимой переменной, или аргументом
Это значит, что если мы подставим на место переменной x
конкретный элемент из списка, мы всегда сможем узнать значение функции f на этом элементе
В данном случае, например,
В предыдущем примере такая определенность отсутствовала:
f (b) одновременно равнялось и нулю, и единице
f (Джон) = яйца
Поэтому функцию еще иногда называют функциональной зависимостью — если элементы первого множества мы можем изменять произвольно,
то изменение значений уже строго зависит от того, как было задано правило f
Кстати сказать, множеству значений — неслучайно
в определении оно было нами названо «любым другим множеством» — никто не запрещает совпадать с первым:
g = понравившийся человек
Джон
Мэри
Сэм
Джон
Мэри
Сэм
вроде бы тоже сопоставляет каждому из членов группы их предпочтения — только в данном случае ими оказываются уже не продукты,
а члены той же группы.

Здесь правило g
задание
Определить, какие из следующих диаграм задают функцию:
a)
b)
c)
• табличный
• графический
• словесный
• аналитический (с помощью формулы)
II. Способы задания функции
Кроме рассмотренных нами выше диаграмм, существуют и другие способы задания функции:
2. Графический
Мороженое

Тапиока

Пирог
Цена
Приведем примеры для каждого:

1. Табличный
функция «десертное меню»
На рисунке отображена
посещаемость сайта Яндекс
в 2009м году.

По горизонтали указаны месяцы,
по вертикали — количество человек, посетивших сайт в данном месяце.

Для наглядности точки на рисунке соединены линией.
Десерт
$ 1.50

$ 3.00

$ 2.50
Заметьте, что изначально функция задана на множестве, состоящем всего из 11 отдельных элементов — в данном случае это месяцы года
И непрерывная линия, соединяющая соседние точки на графике — это уже не исходная функция, а так называемая интерполяция:
приближение, позволяющее предсказать промежуточные значения. Это делает графическое представление данных чрезвычайно наглядным
и удобным.
Однако, таблицы и отчасти графики хороши лишь для задания функций на конечных множествах.
Математики же, в основном, работают с множествами числовыми, которые, как правило, не являются конечными. В таких случаях правило сопоставления приходится определять либо словесно, либо с помощью формулы.
Замечание
3. Словесный
Рассмотрим в качестве примера такое правило, задающее функцию на множестве всех целых чисел: каждому числу функция f сопоставляет его остаток от деления на три.
Несмотря на то, что целых чисел бесконечно
много, по этому правилу мы в состоянии вычислить значение функции для любого целого числа:
Строго говоря, на формулу тоже можно смотреть как
на высказывание в некотором формализованном языке,
поэтому аналитический способ задания функции —
это продолжение словесного, доведенное математиками до совершенства.
Заметка
4. Аналитический способ задания функции:
При аналитическом способе задания функции график уже имеет вспомогательный характер,

хотя непрерывная линия тут не является приближением — значения у функции есть
во всех точках кривой.
f(x) = √x
Y
X
f(x) = √x
_
_
Обратите внимание,
что, переходя от примера к примеру,
мы незаметно подошли к рассмотрению функций числовых, а в последнем примере функция была задана на множестве так называемых действительных чисел (в данном случае — неотрицательных).
Сейчас же пора сказать самое главное:
Это множество (обозначаемое буквой ) — довольно сложный для понимания объект, и к его устройству
мы будем обращаться еще не раз.
Математический анализ как раз и занят преимущественно исследованием
поведения функций, областью определения и областью значений которых являются или вообще все действительные числа, или какие-то их подмножества.



важная мысль
Итак,
с учетом принятых в математике обозначений мы можем сказать, что предметом изучения математического анализа являются функции вида
Разумеется, в большинстве своем все они заданы формулами, поскольку только формулы и можно анализировать математически — именно поэтому способ задания функции с помощью формулы был назван нами аналитическим.

Функцию, заданную формулой, можно раскладывать в ряд, интегрировать, брать производную
и совершать все те действия, которые, собственно,
и изучаются в полном курсе математического анализа. Если вспомнить, что функцию мы, в числе прочего, назвали удобным способом упаковки знания, то математический анализэто множество техник по его распаковке.


С частью этих действий мы познакомим вас и на страницах нашего журнала.
А начнем мы наше более глубокое знакомство с техниками математического анализа с изучения числовых последовательностей.
Это вообще — то тоже в каком-то смысле функции — функции, заданные на множестве натуральных чисел, или, как их еще иногда называют — функции натурального аргумента
III. Последовательности
Последовательность — это занумерованное (возможно, бесконечное) множество элементов, в котором имеет значение порядок их следования
Этим последовательность отличается от обычного множества.
Определение 1
Учитывая сказанное,
Еще одно отличие состоит в том, что элементы последовательности могут повторяться. Конечную последовательность иногда еще называют «строкой» или «словом».
1010 и 0101 или АБЫРВАЛГ и ГЛАВРЫБА — это четыре разные последовательности, которым соответствуют два множества: {0, 1} и {А, Б, В, Г, Л, Р, Ы}.
Последовательность — это функция, областью определения которой является либо
(в случае бесконечной последовательности) множество всех натуральных чисел, либо
(в случае конечной последовательности длины n) — множество, состоящее из первых n натуральных чисел.
Определение 2
важная мысль
Для целей математического анализа особенно важны числовые последовательности, элементами которых являются вещественные, или действительные числа.
Пока для простоты любое действительное число мы будем представлять себе в виде бесконечной десятичной дроби.

При этом целому числу будет соответствовать дробь, у которой после запятой идут одни нули, рациональному числу (или обыкновенной дроби) будет соответствовать либо конечная десятичная, либо бесконечная периодическая,
а иррациональным числам, то есть корням всех степеней, а также числам типа π и e – бесконечные непериодические десятичные дроби.
Тот факт, что всякая обыкновенная дробь либо представляется в виде конечной десятичной дроби, либо обязательно даст период, чрезвычайно важен.

Его доказательство мы подробно разбираем здесь
(начиная с десятой минуты):
Не менее важным фактом является
и то, что квадратный корень из целого положительного числа
(если он не является целым числом) не может быть представлен в виде
обыкновенной дроби, и поэтому необходимо будет иметь вид бесконечной непериодической десятичной дроби.

Доказательство этого факта будет рассмотрено позже
И здесь возникает, пожалуй, самый главный вопрос в этой теме:
Как мы видим, все такие дроби сами
(с точностью до знака или места запятой)
есть не что иное, как бесконечные последовательности натуральных чисел:

Если последовательность — это функция,
а функция — это правило, сопоставляющее элементам одного множества элементы другого множества, то мы должны озаботиться и способами задания последовательностей,
в особенности — бесконечных.

важная мысль
Итак, бесконечная последовательность
считается заданной, если известно правило,
по которому для любого натурального n
можно найти значение n-го члена этой последовательности.
Как можно задать эти последовательности?
Во всех наших примерах, кроме последнего, видны
те или иные закономерности, поэтому их легко описать.
Обратимся снова
к нашим примерам.
Иначе говоря, последовательность задана,
если задан ее общий член
.
Начнем с самого первого примера.
В принципе мы вправе выбрать любую форму записи — например, такую:

Но общепринятый способ обозначения немного иной:
То есть, члены последовательности обозначают
какой-либо буквой с нижним индексом, соответствующим номеру этого члена в данной последовательности.

Вторая последовательность
в этом смысле не сильно отличается от первой:

В принципе, их обе можно было бы задать
и графически, как определенные на конечном подмножестве натуральных чисел:
*
Первая последовательность
Вторая последовательность
Четвертая последовательность — вообще постоянная:
*
Третья последовательность
задается простейшей формулой:
для любого натурального
Бесконечную периодическую последовательность 0, 142857142857…..

можно задать словесно, сказав, например, что первый член последовательности равен нулю,
а, начиная со второго, каждый n-й член последовательности равен n-му остатку от деления 10 на 7 в алгоритме, переводящем обыкновенную дробь
в десятичную форму.
7
__
1
последняя последовательность цифр представляет собой, как, возможно, кто-то уже догадался, начало десятичной формы записи числа π.
*
Наконец,
И здесь возникают серьезные сложности,
поскольку в последовательности этих цифр
не существует никакой очевидной закономерности, которую мы могли бы использовать при формулировании правила ее задания…


*
Давайте ненадолго оставим эту задачу и попробуем справиться с задачей попроще:
_
Поскольку √2 — число иррациональное,
то оно представимо лишь в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, а, значит, последовательность цифр, входящих в такую
запись, тоже не имеет закономерностей.

_
задать последовательность цифр, входящих в десятичную запись √2 = 1,414213562373...
Здесь нам может помочь определение арифметического квадратного корня из числа a.
Так как же в таком случае быть?
Напоминаем, что арифметическим квадратным корнем из числа a ≥ 0 называется такое число b 0, квадрат которого равен a.

Поэтому мы можем последовательно приближаться к числу 2 с меньшей и большей стороны, подбирая его оценки с недостатком и с избытком сначала с точностью до целых, потом до десятых, затем до сотых и так далее «до бесконечности»...
*
В результате мы получим такую систему неравенств:


И таким образом
мы нашу
последовательность все же построим,

сопоставляя каждому номеру n последнюю цифру в соответствующей оценке 2 с недостатком (или, как говорят в таких случаях — слева, или снизу).



Обратите внимание, что если мы изобразим
нашу процедуру графически
, то это будет выглядеть так, как если бы мы на числовой прямой отметили некоторую систему отрезков бесконечно уменьшающейся длины, оказывающихся вложенными друг в друга:
_
*
для понимания свойство множества действительных чисел заключается в том, что только в нем такая система вложенных отрезков будет иметь единственную общую точку!

В нашем примере такой единственной точкой и будет число, в точности равное квадратному корню из двух.

Это свойство называется принципом вложенных отрезков Кантора, и этот принцип эквивалентен
аксиоме полноты множества действительных чисел.
И вот основное
и, пожалуй,
самое загадочное
и сложное
*
мы аксиоматически полагаем, что действительные числа заполняют всю числовую прямую без каких-либо сколь-угодно малых пробелов!

Это означает, что у нас нет другого способа убедиться в том, что между ними и точками на прямой есть взаимно-однозначное соответствие — мы просто соглашаемся считать, что действительные числа устроены именно так!
Я прошу всех вдуматься в то, что здесь сейчас происходит:
*
Это соглашение позволяет нам, в частности, рассматривать последовательности и другого вида — а именно: ведь мы могли бы каждому номеру n ставить в соответствие не цифру, входящую в десятичную запись оценки 2 слева, а саму эту оценку, т. е. некоторую конечную десятичную дробь — то же самое мы можем проделать и с оценкой сверху.
В результате мы получим последовательность приближений 2 конечными десятичными дробями слева и справа (снизу и сверху). Соответствующие последовательности будут выглядеть следующим образом:
_
_
важная заметка
определение
Графически это можно изобразить так:
важная заметка
Заметим, что аксиома полноты или непрерывности не выполняется для множества таких чисел — система вложенных отрезков из нашего примера не будет иметь
в множестве рациональных чисел общей точки!
без этой аксиомы было бы невозможно строгое построение математического анализа, было бы невозможно доказать существование значений
у степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических
функций на естественных для них областях определения, и т.п.
Вывод
Таким образом,
нашего повествования неформально определили предмет математического анализа как изучение функций вида f :

Возможно, теперь читателем стало более понятным, почему мы смогли себе это позволить.
И числовые последовательности во многом интересуют математиков именно с этой точки зрения — как последовательности приближений иррациональных чисел рациональными.

Помните, как мы в начале
вернемся к отложенной нами на время проблеме того, как можно задать последовательность,
в которой n-му члену соответствует цифра, стоящая на n-м месте в десятичной записи
числа π
В заключение,
Для этого сначала вспомним, что вообще обозначает эта величина?
Наверное, многие помнят, что это отношение длины окружности к ее диаметру, и что оно постоянно для любой окружности
Вообще говоря, постоянство такого отношения — сам по себе далеко не тривиальный геометрический факт, который будет разобран нами в соответствующем разделе журнала.
Сейчас же мы хотим лишь обратить внимание читателей на то, что число, выражающее это отношение, как и квадратный корень из двух, тоже может быть определено лишь как последовательность приближений — например, как последовательность значений периметров вписанных в окружность единичного диаметра правильных n-угольников при бесконечно растущем числе n их углов.
π
Вписанные многоугольники можно заменить
на описанные — тогда их периметры будут образовывать не возрастающую
, а убывающую последовательность, приближающуюся к числу π сверху. Или можно попытаться вычислить значения
и для той, и для другой, как сделал в свое время
Архимед, дойдя до n = 96, и получив свои знаменитые оценки:
то она, как мы и отмечали ранее, невероятно трудна — считается, что вычислить n-ю цифру в записи числа π столь же сложно, как и вычислить его приближение
с точностью до этой цифры.

Хотя известен как называемый spigot алгоритм, позволяющий довольно легко вычислить n-ю цифру числа — правда, в шестнадцатеричной системе счисления. (Spigot — англ. кран, клапан, контролирующий напор жидкости. Имеется в виду,
что алгоритм выдает цифры дозированно, как регулируемый вентиль.)

В любом случае такого рода задачи выходят далеко за рамки Введения.


Что же касается исходно поставленной задачи,
IV. Алгоритм приближения квадратного корня. Вавилонский метод
А закончить наше элементарное введение
в математический анализ хотелось бы рассмотрением алгоритма приближения квадратного корня, дошедшего до нас благодаря вавилонским глиняным клинописным табличкам, большая часть из которых датируется приблизительно 18 - 16 вв. д. н. э.!

Он так и называется — Вавилонский метод.



Предположим, что у нас есть какое-то положительное число А, квадратный корень из которого не является целым числом.
Основная идея метода состоит в наблюдении, что если a — приближенное значение A с избытком, то b =
будет приближением с недостатком
(т. е. b < a), и наоборот,

но в любом случае a =

будет являться, во-первых, лучшим приближением,
чем a или b, и, во-вторых, всегда будет приближением
с избытком.


a
1
__
A
__
2
_________
A + B
Это следует из так называемого неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим:
Причем, равенство достигается только при x = y.
Это означает, что
Или A < a⠀< a.

То есть, мы имеем монотонно убывающую ограниченную
последовательность приближений:
A <...a⠀⠀⠀< a⠀ <....< a⠀< a⠀< a, где
1
n + 1
n
2
1
Это означает, что




Или A < a⠀< a.

То есть, мы имеем монотонно убывающую ограниченную
последовательность приближений:
A <...a⠀⠀⠀< a⠀ <....< a⠀< a⠀< a, где
Такое задание последовательности, когда каждый последующий ее член определяется через предыдущие, называется рекурсивным.
И, значит, Вавилонский метод, действительно успешен, поскольку генерирует последовательность приближений, сходящуюся к A.
Но мы теперь легко можем его найти
__
Как можно было бы увидеть соизмеримость
или несоизмеримость геометрически?

Давайте нарисуем прямоугольник шириной √2
и высотой 1. И попробуем «замостить» его квадратами со стороной, равной меньшей стороне нашего прямоугольника, т. е. 1.

Мы видим, что такой квадрат умещается
в прямоугольнике целиком всего один раз,
оставляя полоску размером 1 на
√2 — 1.
Для большей наглядности исходный прямоугольник можно удлинить на еще один квадрат со стороной 1,
чтобы сразу увидеть один и тот же алгоритм:
в прямоугольник укладывается два квадрата, оставляя меньший прямоугольник с точно таким
же соотношением сторон.
V. √2 и геометрический смысл алгоритма Евклида.
_
_
_
Мы утверждаем, что этот процесс никогда
не остановится, поскольку всякий раз мы будем получать подобные прямоугольники, и таким
образом ни в одном из них меньшая сторона
не уложится в большей целое число раз.

Этот факт можно заметить и чисто алгебраически. Действительно:


Из последнего равенства следует и еще одно доказательство несоизмеримости √2 с единицей,
что тождественно его иррациональности:



_
корень из двух оказался представлен в виде выражения, включающее его самого. А это значит, что вместо корня можно подставить все выражение, и процесс зациклится — т. е. данная цепная дробь никогда
не оборвется.

В то время как прямым следствием того же алгоритма Евклида (можно даже сказать — другой его формой) является представимость любого рационального числа
в виде конечной цепной дроби