Иногда, чтобы доказать истинность какого-то утверждения, мы доказываем не его, а абсурдность противоположного.

Логики называют этот прием доказательством от противного, или шире – доведением до абсурда (лат. reductio ad absurdum).

Когда математикам впервые пришло в голову усомниться в непосредственной очевидности Пятого постулата Евклида (более известного широкой аудитории как аксиома о параллельных), утверждающего, что через точку на плоскости можно провести ровно одну прямую, параллельную данной, то некоторые из них принялись его доказывать именно этим путем, пытаясь получить какие-нибудь абсурдные результаты, предполагая, что аксиома не верна.

«Мимоходом» заметим, что отрицание аксиомы может звучать по-разному, и само по себе уже довольно «абсурдно»:

Каково же было изумление всех этих ученых мужей, когда, несмотря на почти очевидную абсурдность этих утверждений, формальных противоречий из них так и не удалось получить.

Тем не менее, полученные результаты настолько противоречили геометрическим интуициям того времени, что лишь спустя годы и только некоторым из этих ученых хватило решимости их опубликовать – эти результаты известны нам сейчас как неевклидовы геометрии.

А еще позже появились интерпретации – «визуализации» тех случаев, когда упомянутое положение дел выглядело возможным: на поверхности, напоминающей форму седла, действительно можно провести более одной параллельной прямой, а на сфере таких прямых не удается провести вовсе.

За первым случаем закрепилось название гиперболической геометрии, или геометрии Лобачевского, а за вторым – геометрии сферической, или Римановой. Что не совсем корректно. О всех деталях читайте здесь.

1.) евклидова геометрия;
2) геометрия Римана;
3) геометрия Лобачевского