Понятие числа возникло ввиду практической необходимости пересчета предметов. Поначалу для этого использовали подручные средства: зарубки, пальцы, камешки, шишки и т. п. Интересно, что в англо-американской традиции математическому анализу в учебных заведениях соответствует дисциплина под названием «calculus» – это слово имеет латинское происхождение и означает «мелкий камешек». Именно такие камешки в древности использовали при счете.

Постепенно количество известных натуральных чисел росло, однако сознание неограниченной продолжительности натурального ряда – признак сравнительно высокого уровня знаний и культуры.

Само понятие числа, как абстрактное, не привязанное к конкретным объектам, возникло далеко не сразу. Обычно считают, что первым систематически изучать числа как некие абстракции начал Пифагор (VI-V вв. до н.э.). В школе Пифагора теория чисел, а именно совокупность математических знаний об общих свойствах натуральных чисел и операций над ними, была выделена в отдельную дисциплину. Однако при этом некоторым числам приписывались таинственные и мистические свойства, а само занятие теорией чисел считалось уделом избранных.

Из объектов, особенно интересовавших пифагорейцев, рассмотрим очень красивые, более того, по сей день актуальные в математике, фигурные числа, в частности треугольные и квадратные.

Натуральное число называется треугольным, если равное ему число точек может быть расставлено в виде правильного треугольника, и квадратным – если число точек может быть расставлено в виде квадрата. Единица считается и треугольным, и квадратным числом.

Последовательность треугольных чисел:

Последовательность квадратных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

Общую формулу квадратного числа легко увидеть на рисунке:

На данный момент не существует единого мнения о том, является ли ноль натуральным числом. Это связано, во-первых, с тем, что натуральными числами можно, с одной стороны, нумеровать предметы (тогда логично начинать натуральный ряд с единицы), а с другой стороны, ими можно обозначать количество предметов (и тогда можно начать с нуля – предметов может быть 0 штук).

Во-вторых, для строгого определения натуральных чисел на языке математической логики, нет разницы, считать ноль натуральным числом или нет. Более того, для некоторых определений у того, чтобы считать ноль натуральным, есть свои преимущества.

Однако в русских источниках традиционно наименьшим натуральным числом считают единицу.

Особое место в натуральном ряду занимают простые числа.

Простым называется натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя – себя и единицу.

Примечательно то, что несмотря на многовековую историю изучения (простые числа интересовали еще древних греков), относительно простых чисел остается множество открытых вопросов. Это и представление четного числа в виде суммы простых (проблема Гольдбаха), и бесконечность пар простых чисел-близнецов (разность между которыми равна 2, например, 11 и 13), и бесконечность простых чисел определенного вида или в определенных последовательностях. И конечно же не утихает интерес к методам поиска и распознавания простых чисел.

Простейшим методом поиска простых чисел является решето Эратосфена. Найти простые числа в пределах первой сотни мы сможем в рамках данной статьи.

Запишем числа первой сотни в таблицу:

Теперь будем отсеивать составные числа, выбирая делители по очереди, начиная с 2. Отсеиваем числа, делящиеся на 2 (все четные, кроме собственно 2):

Затем отсеиваем числа, делящиеся на 3 (само число оставляем, так как оно делится только на себя и на единицу, а значит по определению является простым). Напоминаем признак делимости на 3 – число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3:

Следующее число, оставшееся после отсеиваний, – 5. Теперь отбросим числа, кратные 5, – это числа, заканчивающиеся на 5 или на 0, более того, заканчивающиеся на 0 мы уже отсеяли как четные:

Таким образом в первой сотне чисел простыми являются:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Здесь читателю может показаться, что поиск больших простых чисел, а также проверка чисел на простоту – дело мало того, что трудное, так еще и нужное разве что для соревнования математиков. Но нет, эта задача прикладная.

Дело в том, что многие криптографические алгоритмы имеют в своей основе то, что если очень большое число является произведением двух очень больших простых чисел, то найти это разложение очень трудно (что в современном мире означает «займет очень много компьютерного времени»). Очень грубо говоря, один из сомножителей может стать ключом шифра и помочь найти второй сомножитель, чтобы затем проверить делимость на него исходного очень большого числа. Именно поэтому поиск очень больших простых чисел не теряет своей актуальности.

Построим треугольник в вершинах и по боковым сторонам которого стоят единицы, а каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел:

Построить такой треугольник очень просто, однако числа, его составляющие, встречаются в самых разных разделах математики.

Обычно числа из треугольника Паскаля называют биномиальными коэффициентами. В теории вероятностей биномиальные коэффициенты означают число сочетаний, то есть число способов выбрать k элементов из n элементов. Например, у нас стоит задача выяснить, сколько партий нужно провести в шахматном турнире, если в нем участвует 10 человек и между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия. Чтобы решить задачу, нужно выяснить, сколькими способами можно выбрать 2 человек из 10. Смотрим на десятую строку треугольника Паскаля, находим второе число, считая с нуля: 1 – нулевое число, 10 – первое, 45 – второе. Таким образом, нужное нам число способов – 45, а организаторам шахматного турнира нужно провести 45 партий.

Кроме того, числа из треугольника Паскаля можно встретить в школьных формулах квадрата суммы и разности, куба суммы и разности. Вообще говоря, с помощью биномиальных коэффициентов можно записать формулу для любой степени. Запишем, например, для четвертой степени разности с помощью четвертого ряда треугольника Паскаля:

Еще одна примечательная последовательность, правда, не в форме треугольника, а в форме числового ряда – числа Фибоначчи. Леонардо Пизанский, более известный под прозвищем Фибоначчи, на рубеже XII-XIII вв. придумал такую задачу:

Через 2 месяца: 1 + 1 = 2 (первая пара кроликов произведет другую пару)
Через 3 месяца: 1 + 2 = 3 (первая пара кроликов произведет еще одну пару)
Через 4 месяца: 2 + 3 = 5 (две первых пары произведут еще две пары)
и так далее:
Через 5 месяцев: 3 + 5 = 8
Через 6 месяцев: 5 + 8 = 13
Через 7 месяцев: 8 + 13 = 21
Через 8 месяцев: 13 + 21 = 34
Через 9 месяцев: 21 + 34 = 55
Через 10 месяцев: 34 + 55 = 89
Через 11 месяцев: 55 + 89 = 144
Через год: 89 + 144 = 233

Для решения этой задачи мы построили числовую последовательность, которая начинается с двух единиц, а затем каждый последующий член последовательности равен сумме двух предыдущих. Это и есть числа Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

В дальнейшем выяснилось, что числа Фибоначчи годятся не только для вычисления популяции кроликов. Они нашли приложение во многих областях математики, их можно встретить в генетике, ботанике и даже в искусстве.

Приведем пару красивых примеров из мира математики.

Пример 1. Из квадратов со сторонами, равными числам из последовательности Фибоначчи, можно составить мозаику:

Глядя на этот рисунок, внимательный читатель сможет вывести формулу для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи.

Пример 2. Последовательные отношения последующего члена ряда Фибоначчи к предыдущему довольно быстро приближаются к золотому сечению и на бесконечности равны ему. Золотое сечение – такое соотношение частей и целого, при котором отношения большей части к меньшей и целого к большей части равны. С точностью до четвертого знака равно 1,6180.

Таким образом, мы видим, что первые 10 отношений чисел Фибоначчи помогают получить уже третий знак после запятой для золотого сечения. Весьма неплохо.

Пытливому читателю предлагаем рассмотреть третий пример и найти последовательность Фибоначчи в треугольнике Паскаля.