Помните, как на страницах нашего журнала я уже не раз произносил загадочные слова о «двух фигурах семиозиса» – об усмотрении тождества в различном и различий в тождественном?

Первая познавательная фигура может быть расширена/дополнена приемом, когда что-то сложное и/или незнакомое представляется/собирается из чего-то простого и знакомого.

«Хитрые» египтяне, например, заполняли круг маленькими кружочками, полагая площадь последних равной единице. И они заметили, что круг диаметром в 9 «условных единиц» может быть «преобразован» в квадрат со стороной, на единицу меньшей диаметра. Убедиться в том, что приближенно это действительно так, вы можете, взглянув на рисунок:

Типичный пример – это измерение длин кривых и площадей фигур с криволинейными границами. В обоих случаях итоговые величины исчисляются с помощью приближений: кривых – отрезками прямых, или сложных фигур – вписыванием в них других фигур, площадь которых считается известной.

На этом наблюдении основано решение задачи, известной как «Проблема №R50», приводимой в знаменитом папирусе Ахмеса – древнейшем письменном свидетельстве достижений египетской математики времен так называемой XII династии Среднего царства, датируемых приблизительно 19 веком до нашей эры. Папирус иногда еще называют математическим папирусом Ринда – по имени шотландского археолога Александра Ринда, который приобрел его в Луксоре в 1858 году и немногим позже передал Британскому музею, где папирус хранится и по сей день.

Ну действительно, если площадь круга равна

Фрагмент математического папируса Ринда

Вторая история переносит нас в Китай – где в третьем веке жил математик Лю Хуэй (Liu Hui) и тоже вписывал в круг фигуры, площади которых считать тогда уже умели – в этот раз это были правильные многоугольники.

Liu Hui

Идея Лю Хуэй состояла в следующем:

рассматривая вписанные в круг шести- и двенадцатиугольник (см. рисунок ниже), он заметил, что площадь зеленого цвета, равная разности площадей двенадцати- и шестиугольника равна площади синего цвета:

Как станет видно чуть позже, формула на каждом шаге алгоритма требует извлечения квадратного корня и манипуляций с иррациональными числами, что и сейчас непросто – не говоря уже о древнем Китае, в котором в третьем веке все сложные вычисления производились при помощи специально разработанного метода с использованием счетных палочек:

Интересующиеся могут самостоятельно разобраться как в сути обнаруженной Лю Хуэй закономерности, так и в деталях метода древнекитайских вычислений при помощи счетных палочек – мы же сейчас, вслед за китайским математиком, просто воспроизведем изобретенный им итеративный алгоритм и выразим с его помощью длину стороны 3072-угольника.

(Корень берем со знаком +, поскольку b < 1)

Ну вот и все. Таким образом, начиная с a₆ = 1: