Можно ли заниматься математикой устно или в уме? Или она все-таки невозможна без того, чтобы делать какие-то записи? И если верно последнее, то необходим ли ей для этих целей какой-то особый язык?

Есть основания считать, что да – необходим. Более того, существует точка зрения, что разные языки более или менее подходят для разных областей математики – примерно, как разные мелодии в одних тональностях звучат лучше, чем в других.

Но нам до отдельных областей пока далеко – поэтому поговорим о том математическом символизме, который является общепринятым, но, тем не менее, тоже подчас бывает труден для восприятия неспециалистами.

Поскольку в основе всей стандартной математики лежит теория множеств, то с символов этой теории мы и начнем.

....– символ принадлежности элемента множеству. Поскольку теория множеств не оперирует ничем, кроме множеств, их элементов (которые тоже суть множества) и отношения принадлежности, то символ обозначает единственное отношение, принадлежащее теории.

Квантор всеобщности и знак импликации – это, вообще говоря, не собственно математические символы, а логические. С другой стороны, сама формальная логика является насквозь математической, поэтому данное разделение также является во многом формальным.

Тем не менее, чтобы покончить в первом приближении с логикой, перечислим еще несколько чрезвычайно распространенных логических символов:

V – дизъюнкция, или логическое «или». Логическая связка, при помощи которой из двух суждений А и В образуется сложное суждение A V B, которое ложно, только если оба дизъюнкта ложны.

Здесь надо заметить, что логические связки очень напоминают операции с множествами

Это сходство неслучайно. Дело в том, что суждение Р интуитивно можно себе представлять как МНОЖЕСТВО всех таких элементов (предметов, вещей), в отношении которых суждение Р истинно. Именно поэтому действиям с суждениями и соответствуют действия с множествами.

Еще одним важным математическим символом является обозначение функции

Такая запись означает, что нам дан некоторый закон, по которому каждому элементу множества X сопоставляется ровно один элемент множества Y.

Этот функциональный закон, или правило еще называют отображением, преобразованием и т. п. Мне лично еще нравится английский термин mapping (для которого, к сожалению, нет подходящего слова в русском языке), а им очень хорошо схватывается процесс сопоставления точек местности (объекта Х) с точками на листе бумаги (объекта Y) – откуда, по-видимому, и происходит данный термин (от англ. map – географическая карта).

Хоть понятие функции и не накладывает никаких ограничений на состав множеств, из которых и в которые она действует, все же есть ряд важных числовых множеств, на которых определены многие математические функции:

Обратите внимание, что все эти множества вложены друг в друга, т. е. являются упорядоченными по включению:

Сталкиваясь с таким многообразием столь непривычных конструкций, именуемых «числами», невольно теряешься и задаешься вопросом: а что вообще считать числом.

Ну вот алгебраический ответ такой: числа – это сущности любой природы, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить, оставаясь в пределах того же класса сущностей. Удивительный результат состоит в том, что объектов, сложнее октавов, на множестве которых были бы возможны все четыре арифметические операции, не построить (желающие подробнее вникнуть в результат, о котором идет речь могут почитать про гипотезу Фробениуса и ее доказательствах в 60-х гг. прошлого века).

Если у нас имеется больше двух однотипных слагаемых, то строчку вида

бывает удобно записать с помощью символа суммы Σ:

И то же самое применимо в отношении произведения, которое также кратко записывается с помощью специального символа ∏:

Существуют также символы для сложения и умножения, когда складываются не числа, а, например, целые множества или даже более сложные объекты:

⊕ – прямая сумма. Опять-таки в случае двух множеств – это их так называемое дизъюнктное объединение, когда общие для обоих множеств элементы включаются в прямую сумму только один раз.

Например, прямой суммой множеств A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4} будет множество

A ⊕ B = {1, 2, 3, 4}

Самое обобщенное определение прямого произведения и прямой суммы любых объектов – множеств, групп, векторных пространств, колец и т. п. – может быть дано на языке теории категорий.

Пожалуй, наш список наиболее употребительных математических символов был бы неполным, если бы мы не упомянули в заключение об обозначениях интеграла и производной.

Если у нас имеется некоторая функция f (x), то ее производная обозначается как

а ее интеграл – как

Подробнее об удобствах и основаниях для таких обозначений как производной, так и интеграла читайте в нашем интеллектуальном продукте «Автостопом по математике»: