Группа (алгебраическая структура)

Определение

Неформально это означает, что элементы структуры, в отличие от элементов множества, неравнозначны — разные элементы выполняют разные функции. Мы видим, что в группе, например, есть выделенный элемент, взаимодействие с которым никак не сказывается на других элементах. А также существуют элементы, нейтрализующие любой другой элемент.

Другими словами, в абелевой группе вместе с аксиомами G1 — G3 выполняется:

Нильс Абель - выдающийся норвежский математик, существенно развивший теорию коммутативных групп. В алгебре Абель также сформулировал и доказал необходимое условие разрешимости уравнений n-степени в радикалах. Эварист Галуа, открывший достаточное условие, во многом опирался на результаты Абеля.

Примером бесконечной абелевой группы являтся хорошо знакомое всем множество целых чисел Z с определенной а нем операцией сложения, ставящей в соответствие любым двум целым числам целое число, называющеся их суммой.

В качестве примера конечной группы можно было бы рассмотреть любое множество неотрицательных остатков от деления целых чисел на какое-то фиксированное целое число n, Мы получим n непересекающихся подмножеств целых чисел

Группа является одним из фундаментальных инструментов изучения симметрий в природе. Уже хорошо знакомый нам пример группы — полная группа симметрий треугольника.

Но, как я уже говорил, значительно более наглядным примером группы будет множество, элементы которого — не числа, а, в некотором смысле — действия.

Скажем, повороты какой-либо симметричной фигуры Х в пространстве и/или в плоскости, которые при этом оставляют ее «на месте». Такое множество поворотов образует группу самосовмещений, или группу симметрий данной фигуры S(Х)
относительно определенной на нем операции композиции отображений.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС:

— полную группу симметрий треугольника. Она состоит из шести элементов, и это — наименьшая неабелева группа. Групповую операцию ( ○ ) будем понимать, просто как последовательность действий. Заметим, что тогда как композиция двух вращений есть вращение, композиция двух отражений отражением не будет — это также будет некоторое вращение, причем, то, какое именно — будет зависеть от порядка действий.

Число элементов в группе называется порядком группы. Мы видели, что порядок групп С(△) и S(△) равнялся, соответственно, тем и шести. Группы симметрий тетраэдра и куба имеют уже значительно большие порядки — 24 и 48, соответственно, и эти числа можно рассматривать как меру симметрчности данных фигур.

Возможно, кто-то уже догадался, что если бы мы ограничились лишь вращениями в плоскости, то тоже бы получили группу, состоящую из трех элементов, а именно, циклическую группу поворотов треугольника С(△).

Написать в чат

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?