Интеграл

Определение

Интеграл (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий математики, возникшее, с одной стороны, в связи с потребностью отыскивать функции по их производным – например, находить закон движения точки по скорости этой точки, а с другой – в связи
с задачами вычисления площадей, объемов, длин кривых, работы сил и т. п.

Соответственно, различают определенные и неопределенные интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Первообразная функции f (x) – это такая функция F (x), производная которой равна f (x).

Заметим, что если F(x) – первообразная функции f (x), то прибавление любой константы к F(x) также даcт нам первообразную для f (x).

Показываем.

Поэтому неопределенным интегралом
∫ f (x)dx функции f (x) называют общее выражение для всех таких первообразных:

Определенный интеграл функции f (x), который принято обозначать как

Первообразная функции f (x) – это такая функция F (x), производная которой равна f (x).

с геометрической точки зрения, есть площадь под кривой графика этой функции, ограниченная осью X и двумя прямыми x = a и x = b:

Значения а и b называют, соответственно, нижним и верхним пределами интеграла.

Можно показать, что для функции f (x), непрерывной на отрезке [a, b]:

Это тождество, носящее название
формулы Ньютона-Лейбница, указывает
на тесную связь интегрирования как вычисления площади с нахождением первообразной данной функции и,
как следствие, с дифференцированием.

Это тождество, носящее название
формулы Ньютона-Лейбница, указывает на тесную связь интегрирования как вычисления площади с нахождением первообразной данной функции
и, как следствие,
с дифференцированием.

Можно показать, что для функции f (x), непрерывной
на отрезке [a, b]:

И до тех пор, пока не была обнаружена
упомянутая нами связь между интегрированием
и нахождением первообразной, определенный интеграл понимался исключительно как такая сумма.

Идея интеграла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых величин была известна со времен древних греков.

В частности, если f (x) – произвольная функция, определенная на отрезке [a, b], то площадь
под кривой ее графика, ограниченную прямыми
x = a и x = b, можно приближенно вычислить следующим способом: разобьем отрезок [a, b]
на n частей, обозначив точки деления

В частности, если f (x) – произвольная функция, определенная на отрезке [a, b],
то площадь под кривой ее графика, ограниченную прямыми
x = a и x = b, можно приближенно вычислить следующим способом: разобьем отрезок [a, b]
на n частей, обозначив точки деления