Жорданова кривая

Определение

Жордановой кривой, или простой плоской кривой называют образ непрерывного вложения f отрезка или окружности в плоскость. В последнем случае кривая называется Жордановой замкнутой кривой, или простой замкнутой кривой.

Иногда под Жордановой кривой понимают именно замкнутую плоскую кривую,

Теорема Жордана знаменита простотой своей формулировки
и одновременной чрезвычайной сложностью доказательства. Будучи элементарным в случае гладких кривых, оно совершенно перестает работать на более сложно устроенных объектах – таких, например, как снежинка Коха:

и именно она фигурирует в знаменитой теореме Жордана, утверждающей, что любая простая плоская замкнутая кривая делит плоскость на две связные компоненты – внутреннюю
и внешнюю – и является их общей границей.

Теорема Жордана знаменита простотой своей формулировки и одновременной чрезвычайной сложностью доказательства. Будучи элементарным в случае гладких кривых, оно совершенно перестает работать на более сложно устроенных объектах таких, например, как снежинка Коха:

и именно она фигурирует в знаменитой теореме Жордана, утверждающей, что любая простая плоская замкнутая кривая делит плоскость на две связные компоненты – внутреннюю и внешнюю – и является их общей границей.

то замкнутой Жордановой кривой можно считать все такие отображения

и, во-вторых, близкие точки переводят в близкие,
т. е. значения f (y) не совершают «прыжков», если только
их не совершают сами

Если окружность или отрезок мы будем мыслить
как пространство размерности 1, а пространство
Х – как плоскость,

(ну или, если быть совсем точным – образы

этих отображений), которые, во-первых, не «склеивают» точки:

(ну или, если быть совсем точным – образы этих отображений),

которые, во-первых, не «склеивают» точки:

Если окружность или отрезок мы будем мыслить как пространство размерности 1,
а пространство Х – как плоскость,

Несмотря на то, что требование непрерывности во многом передает наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша от бумаги», одно оно является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые считать кривыми затруднительно.

что его образ полностью заполняет квадрат –
одно из таких отображений носит название кривой Пеано.
Однако, если потребовать дополнительно, чтобы кривая
не имела самопересечений или соприкосновений, то такое причудливое отображение уже построить не получится.

Например, можно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость,

Поэтому требование, чтобы f не «склеивала» точки,
является существенным. Такое не склеивающее точки отображение на языке теории категорий называется мономорфизмом.

что его образ полностью заполняет квадрат – одно из таких отображений носит название кривой Пеано. Однако, если потребовать дополнительно, чтобы кривая не имела самопересечений или соприкосновений, то такое причудливое отображение уже построить не получится.

Поэтому требование, чтобы f не «склеивала» точки, является существенным. Такое не склеивающее точки отображение на языке теории категорий называется мономорфизмом.

Написать в чат

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?