Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

Квантор

К
Определение
Кванторами в формальной логике называют логические операци, которые по предикату P(x) строят высказывание, ограничивая область истинности данного предиката.
Чтобы это сухое, формальное определение имело «общечеловеческий» смысл, необходимо добавить, что предикатом логики называют все, что сказывается
о субъекте.
Например, в высказываниях
«снег белый», «Иван – брат Петра» или «Все люди смертны» такими логическими сказуемыми являются выражения «быть белым», «быть братом Петра» и «быть смертным».
Первое и последнее высказывание являются истинными, поскольку сообщают правду
о мире, в котором мы живём.
Например,
в высказываниях
Ну, или точнее, у нас по данным вопросам подавляющий консенсус (истинность второго высказывания зависит от того, есть ли у Ивана
брат Петр).
Если же на месте субъекта высказывания стоит переменная, то так называемая высказывательная форма «x – белый» ни истинна, ни ложна, пока мы не подставим на ее место какое-то конкретное значение, или
не замкнем эту форму при помощи кванторов, сказав, например, что «любой x такой, что x – белый»
Или «существует такой x, что x – белый».
Эти операции «любой» и «существует» называют, соответственно, кванторами всеобщности
и существования.
Эти операции «любой»
и «существует» называют, соответственно, кванторами всеобщности и существования.
Обозначив свойство «быть смертным» через P,
а множество всех людей через X, мы можем записать высказывание «Все люди смертны» в символической форме:
которое будет истинным. Но если через Y мы обозначим множество вообще всех вещей в мире, то
будет ложным, поскольку в мире существуют такие вещи как камни, к которым идея смертности вообще
не применима. Хотя опять-таки, это будет зависеть
от имеющегося по данному поводу консенсуса – возможно, существуют коллективы, считающие камни смертными, поскольку и они со временем разлагаются на элементы. Высказывание же
будет истинным для всех коллективов, члены которых убеждены, что «в мире существует, по крайней мере, одно смертное существо».

Общепринятыми обозначениями являются:
– для квантора всеобщности
(перевернутая А от англ. all – любой, всякий)
Ǝ – для квантора существования (перевернутая Е от англ. exists – существует).
Кванторы существования и всеобщности первым ввел
в рассмотрение в конце 19го века немецкий логик, математик и философ Готлоб Фреге,

сделав тем самым существовавший на тот момент язык традиционной (аристотелевской) логики высказываний значительно более экспрессивным.
В традиционной логике существовало всего четыре типа высказываний:


Каждый S есть Р,
Ни один S не есть P,
Какие-то S есть Р,
Какие-то S не есть Р.

Можно сказать, что каждое из этих высказываний содержит ровно по одному квантору: «Каждый»,
«ни один», «какой-то», и эта особенность их структуры
не позволяет адекватно выразить некоторые интуитивно истинные следствия.



Кванторы существования
и всеобщности первым ввел
в рассмотрение
в конце 19го века немецкий логик, математик
и философ
Готлоб Фреге,

Но поскольку каждое из этих высказываний содержит по два квантора, то, желая воспользоваться синтаксисом традиционной логики, второй довольно искусственно приходится включать в предикат P 1 = «пугать каждую мышь»
и P 2 = «бояться какого-то кота», что, вообще говоря, разрушает логическую форму исходных высказываний.
Приведем пример: из высказывания «Какой-то кот пугает каждую мышь» логически очевидным образом следует,
что «Каждая мышь боится какого-то кота».
В результате суждение «какие-то коты пугают
каждую мышь» становится неотличимо от суждения «какие-то коты голодные», что делает невозможным требуемый вывод. Это становится хорошо видно, если обозначить «котов» через S 1, а «мышей» –
через S2. Очевидно, что из суждения
«Какие-то S 1 есть P 1» никак не может следовать
«Все S2 есть P2».

2
1
1
2
2
1
1
2
В результате суждение
«какие-то коты пугают каждую мышь» становится неотличимо от суждения «какие-то коты голодные», что делает невозможным требуемый вывод. Это становится хорошо видно, если обозначить «котов» через S 1, а «мышей» – через S2. Очевидно, что из суждения
«Какие-то S 1 есть P 1» никак
не может следовать
«Все S2 есть P2».


Но поскольку каждое
из этих высказываний содержит по два квантора, то, желая воспользоваться синтаксисом традиционной логики, второй довольно искусственно приходится включать в предикат
P 1 = «пугать каждую мышь»
и P 2 = «бояться какого-то кота», что, вообще говоря, разрушает логическую форму исходных высказываний.
2
2
1
1
1
2
1
Попытка записать высказывание «Какой-то кот пугает каждую мышь» на языке исчисления предикатов обнаруживает двусмысленность последнего. Действительно, его можно понять как
«для каждой мыши существует какой-то кот, которого она боится»:
Это затруднение в логике получило название проблемы множественной всеобщности, и разрешается она именно
с помощью кванторов всеобщности и существования.
– и это и есть тот самый интуитивно
напрашивавшийся вывод, который в данном
случае тривиален (Здесь Х – множество мышей,
У – множество котов и Р – двухместный предикат
«х боится у»), и как «существует такой кот, которого боится каждая мышь»:


В этом случае из первого суждения второе логически уже не следует.


Попытка записать высказывание «Какой-то кот пугает каждую мышь» на языке исчисления предикатов обнаруживает двусмысленность последнего. Действительно, его можно понять как «для каждой мыши существует какой-то кот, которого она боится»:
– и это и есть тот самый
интуитивно напрашивавшийся вывод, который в данном случае тривиален (Здесь Х – множество мышей, У – множество котов и Р – двухместный предикат «х боится у»), и как «существует такой кот, которого боится каждая мышь»:


Это затруднение
в логике получило название проблемы множественной всеобщности,
и разрешается
она именно
с помощью кванторов всеобщности
и существования.

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?