Обозначив свойство «быть смертным» через P,
а множество всех людей через X, мы можем записать высказывание «Все люди смертны» в символической форме:

которое будет истинным. Но если через Y мы обозначим множество вообще всех вещей в мире, то

будет ложным, поскольку в мире существуют такие вещи как камни, к которым идея смертности вообще
не применима. Хотя опять-таки, это будет зависеть
от имеющегося по данному поводу консенсуса – возможно, существуют коллективы, считающие камни смертными, поскольку и они со временем разлагаются на элементы. Высказывание же

будет истинным для всех коллективов, члены которых убеждены, что «в мире существует, по крайней мере, одно смертное существо».

Общепринятыми обозначениями являются:

Ɐ – для квантора всеобщности
(перевернутая А от англ. all – любой, всякий)

Ǝ – для квантора существования (перевернутая Е от англ. exists – существует).

Кванторы существования и всеобщности первым ввел
в рассмотрение в конце 19го века немецкий логик, математик и философ Готлоб Фреге,

сделав тем самым существовавший на тот момент язык традиционной (аристотелевской) логики высказываний значительно более экспрессивным.
В традиционной логике существовало всего четыре типа высказываний:

Каждый S есть Р,
Ни один S не есть P,
Какие-то S есть Р,
Какие-то S не есть Р.

Можно сказать, что каждое из этих высказываний содержит ровно по одному квантору: «Каждый»,
«ни один», «какой-то», и эта особенность их структуры
не позволяет адекватно выразить некоторые интуитивно истинные следствия.

Кванторы существования
и всеобщности первым ввел
в рассмотрение
в конце 19го века немецкий логик, математик
и философ
Готлоб Фреге,

Но поскольку каждое из этих высказываний содержит по два квантора, то, желая воспользоваться синтаксисом традиционной логики, второй довольно искусственно приходится включать в предикат P 1 = «пугать каждую мышь»
и P 2 = «бояться какого-то кота», что, вообще говоря, разрушает логическую форму исходных высказываний.

Приведем пример: из высказывания «Какой-то кот пугает каждую мышь» логически очевидным образом следует,
что «Каждая мышь боится какого-то кота».

В результате суждение «какие-то коты пугают
каждую мышь» становится неотличимо от суждения «какие-то коты голодные», что делает невозможным требуемый вывод. Это становится хорошо видно, если обозначить «котов» через S 1, а «мышей» –
через S2. Очевидно, что из суждения
«Какие-то S 1 есть P 1» никак не может следовать
«Все S2 есть P2».

2

1

1

2

2

1

1

2

В результате суждение
«какие-то коты пугают каждую мышь» становится неотличимо от суждения «какие-то коты голодные», что делает невозможным требуемый вывод. Это становится хорошо видно, если обозначить «котов» через S 1, а «мышей» – через S2. Очевидно, что из суждения
«Какие-то S 1 есть P 1» никак
не может следовать
«Все S2 есть P2».

Но поскольку каждое
из этих высказываний содержит по два квантора, то, желая воспользоваться синтаксисом традиционной логики, второй довольно искусственно приходится включать в предикат
P 1 = «пугать каждую мышь»
и P 2 = «бояться какого-то кота», что, вообще говоря, разрушает логическую форму исходных высказываний.

2

2

1

1

1

2

1

Попытка записать высказывание «Какой-то кот пугает каждую мышь» на языке исчисления предикатов обнаруживает двусмысленность последнего. Действительно, его можно понять как
«для каждой мыши существует какой-то кот, которого она боится»:

Это затруднение в логике получило название проблемы множественной всеобщности, и разрешается она именно
с помощью кванторов всеобщности и существования.

– и это и есть тот самый интуитивно
напрашивавшийся вывод, который в данном
случае тривиален (Здесь Х – множество мышей,
У – множество котов и Р – двухместный предикат
«х боится у»), и как «существует такой кот, которого боится каждая мышь»:

В этом случае из первого суждения второе логически уже не следует.

Попытка записать высказывание «Какой-то кот пугает каждую мышь» на языке исчисления предикатов обнаруживает двусмысленность последнего. Действительно, его можно понять как «для каждой мыши существует какой-то кот, которого она боится»:

– и это и есть тот самый
интуитивно напрашивавшийся вывод, который в данном случае тривиален (Здесь Х – множество мышей, У – множество котов и Р – двухместный предикат «х боится у»), и как «существует такой кот, которого боится каждая мышь»:

Это затруднение
в логике получило название проблемы множественной всеобщности,
и разрешается
она именно
с помощью кванторов всеобщности
и существования.