Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

Логарифм

Л
Определение
Логарифм числа b по основанию a – это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить b. Принято обозначение x = log 2b, и нахождение такого x эквивалентно решению уравнения
Например,
в высказываниях
x
ax= b
a
относительно x.
Отсюда тривиальным образом следует равенство
Отсюда тривиальным образом следует равенство
которое по не до конца понятным причинам называют «основным логарифмическим тождеством».
которое по не до конца понятным причинам называют «основным логарифмическим тождеством».
По столь же понятным причинам a0 и a1 – так как нуль в любой степени равен нулю, а единица в любой степени – единица. Довольно естественным образом возникают и еще несколько ограничений.
Если это понимать, многие свойства
логарифма станут предельно ясными.
Поскольку показатель степени x может быть не только целым, но и рациональным и даже иррациональным числом, то уже при возведении в рациональную степень отрицательных чисел утрачивается однозначность:

Ну а коль скоро положительное число в любой степени есть положительное число, то логарифм имеет смысл только для b > 0.


Например,
Например, a > 0. Это лучше всего понять, продумав до конца ту же идею о логарифмировании как операции, обратной возведению в степень.
Поскольку показатель степени x может быть
не только целым,
но и рациональным и даже иррациональным числом, то уже при возведении
в рациональную степень отрицательных чисел утрачивается однозначность:
То есть на порядок упрощает любую арифметическую операцию. И это свойство тоже, разумеется, тесно
связано с тем, что логарифмирование обратно возведению в степень.
Самым, пожалуй, важным свойством логарифма является то, что он умножение переводит в сложение, деление –
в вычитание, а возведение в степень – в умножение.
Именно поскольку
Отсюда же немедленно следует, что
В таком случае говорят, что «степень спрыгивает».
Разберемся еще с несколькими свойствами:
Что, например, такое loga b ∙ log bc ?
b
a
Это так называемая формула перехода к новому основанию, которую довольно трудно запомнить, а она часто оказывается полезной. Но если увидеть ее как следствие только что полученного нами тождества log ab ∙ log bc = log ac, то ничего запоминать не придется вовсе.
Более того, если в этом же тождестве положить c = a, то мы получим, что:
b
a
a
Или, что то же самое
Ну и последнее.
Утверждается, что
Чтобы это увидеть, нужно прологарифмировать обе части равенства по основанию b и воспользоваться тем, что «степень спрыгивает».
А это следует из монотонности логарифма как функции, то есть из того, что логарифмическая функция принимает в разных точках разные значения! А это означает, что одно и то же значение логарифма мы можем получить только в одной и той же точке.
?
Подумайте еще об этом...
Это так называемая формула перехода
к новому основанию, которую довольно трудно запомнить,
а она часто оказывается полезной.
Но если увидеть
ее как следствие только что полученного
нами тождества
log ab ∙ log bc = log ac, то ничего запоминать
не придется вовсе.
Или по-другому,
То есть
Попробуем возвести в эту «несуразную» степень число a:
следует, что
А почему из того, что
Допустим, нам нужно перемножить два числа:
1,673 и 2,754. Прежде всего, выбиралось число, которое будет выполнять роль основания системы. Ну, скажем, a = 1, 000001. И затем составлялись таблицы степеней этого основания
Как на практике применялось
главное свойство логарифма для перемножения чисел?
Затем делались оценки
И тогда
k + m + 2
k + m
и поскольку основание a выбиралось
немногим больше единицы, то ak+m+2
не сильно превосходило ak+m.
и поскольку основание a выбиралось немногим больше единицы, то ak+m+2
не сильно превосходило ak+m.

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?