По столь же понятным причинам a ≠ 0 и a ≠ 1 – так как нуль в любой степени равен нулю, а единица в любой степени – единица. Довольно естественным образом возникают и еще несколько ограничений.

Если это понимать, многие свойства
логарифма станут предельно ясными.

Поскольку показатель степени x может быть не только целым, но и рациональным и даже иррациональным числом, то уже при возведении в рациональную степень отрицательных чисел утрачивается однозначность:

Ну а коль скоро положительное число в любой степени есть положительное число, то логарифм имеет смысл только для b > 0.

Например,

Например, a > 0. Это лучше всего понять, продумав до конца ту же идею о логарифмировании как операции, обратной возведению в степень.

Поскольку показатель степени x может быть
не только целым,
но и рациональным и даже иррациональным числом, то уже при возведении
в рациональную степень отрицательных чисел утрачивается однозначность:

То есть на порядок упрощает любую арифметическую операцию. И это свойство тоже, разумеется, тесно
связано с тем, что логарифмирование обратно возведению в степень.

Самым, пожалуй, важным свойством логарифма является то, что он умножение переводит в сложение, деление –
в вычитание, а возведение в степень – в умножение.

Именно поскольку

Отсюда же немедленно следует, что

В таком случае говорят, что «степень спрыгивает».

Разберемся еще с несколькими свойствами:
Что, например, такое loga b ∙ log bc ?

b

a

Это так называемая формула перехода к новому основанию, которую довольно трудно запомнить, а она часто оказывается полезной. Но если увидеть ее как следствие только что полученного нами тождества log ab ∙ log bc = log ac, то ничего запоминать не придется вовсе.

Более того, если в этом же тождестве положить c = a, то мы получим, что:

b

a

a

Или, что то же самое

Ну и последнее.

Утверждается, что

Чтобы это увидеть, нужно прологарифмировать обе части равенства по основанию b и воспользоваться тем, что «степень спрыгивает».

А это следует из монотонности логарифма как функции, то есть из того, что логарифмическая функция принимает в разных точках разные значения! А это означает, что одно и то же значение логарифма мы можем получить только в одной и той же точке.

?

Подумайте еще об этом...

Это так называемая формула перехода
к новому основанию, которую довольно трудно запомнить,
а она часто оказывается полезной.
Но если увидеть
ее как следствие только что полученного
нами тождества
log ab ∙ log bc = log ac, то ничего запоминать
не придется вовсе.

Или по-другому,

То есть

Попробуем возвести в эту «несуразную» степень число a:

следует, что

А почему из того, что

Допустим, нам нужно перемножить два числа:
1,673 и 2,754. Прежде всего, выбиралось число, которое будет выполнять роль основания системы. Ну, скажем, a = 1, 000001. И затем составлялись таблицы степеней этого основания

Как на практике применялось
главное свойство логарифма для перемножения чисел?

Затем делались оценки

И тогда

k + m + 2

и поскольку основание a выбиралось
немногим больше единицы, то ak+m+2
не сильно превосходило ak+m.

и поскольку основание a выбиралось немногим больше единицы, то ak+m+2
не сильно превосходило ak+m.