Моноид

Определение

Например,
в высказываниях

Моноидом называют множество M с определенной на нем ассоциативной бинарной операцией x , обычно называемой умножением, и нейтральным элементом e T M,
то есть таким, что

Напомним, что ассоциативность операции –
это когда неважно, как «ассоциировать» элементы друг с другом, или попросту – как расставлять скобки, то есть:

очевидно, что множество натуральных чисел ℕ с обычным умножением – это моноид.

Моноид является, пожалуй,  одной из самых «непритязательных» алгебраических структур в том смысле, что накладываемые на него требования очень слабые:

очевидно, что множество натуральных чисел ℕ
с обычным умножением – это моноид.

Нейтральным элементом в данном случае будет пустая строка, которую часто обозначают как
ε или λ. Заметьте, что, в отличие от предыдущих примеров, этот моноид – некоммутативный, т. е.

Если к натуральным числам присоединить ноль,
то множество ℕ0 также будет моноидом, если в качестве операции «умножения» в моноиде мы рассмотрим сложение, а в качестве нейтрального элемента – ноль.

Несколько более вычурный и,
одновременно, гораздо более часто используемый в программировании пример: множество S всех конечных строк некоторого фиксированного алфавита Σ с операцией так называемой конкатенации – присоединения начала одной строки к концу другой.

Если к натуральным числам присоединить ноль,
то множество N0 также будет моноидом, если
в качестве операции «умножения»
в моноиде мы рассмотрим сложение,
а в качестве нейтрального элемента – ноль.

Аксиомы моноида совпадают с аксиомами, которые накладываются на композицию стрелок/морфизмов в категории.

Разница лишь в том,  что умножение в моноиде определено для любых  двух элементов, тогда как композиция определена  не для любых двух морфизмов  (Вспомните, для каких?)

Вопрос

Сказать, что для любых двух морфизмов определена композиция – это то же самое, что сказать «категория состоит из одного объекта». То есть любой моноид образует категорию из одного объекта
(См. пример категории N в нашей закрытой статье).

Аксиомы
моноида совпадают
с аксиомами, которые накладываются
на композицию стрелок/морфизмов в категории.

Эта особенность моноидов делает возможным их изучение средствами теории категорий и позволяет рассматривать их в специфически категорном контексте.

Вопрос

которое можно мыслить себе как категорную «интерпретацию» моноида в терминах множеств. Отображение устроим следующим образом:

В частности, можно рассмотреть такое отображение между категориями

Единственному объекту N категории N поставим
в соответствие множество натуральных чисел ℕ
в категории множеств Set,

Все сказанное означает, что данная интерпретация сохраняет структуру категории, поскольку объектам сопоставляются объекты, а стрелкам – стрелки таким образом,

Приведенный пример есть пример стандартной интерпретации моноида в Set:
при такой интерпретации единственному объекту любого моноида как категории
с одним объектом сопоставляется множество ее же стрелок в категории множеств.

Подумайте, как должен быть устроен стандартный функтор из моноида N0 со сложением в Set?

что сохраняется композиция,
и тождественная стрелка одной категории переходит
в тождественную стрелку другой. Такая сохраняющая структуру интерпретация одной категории
в терминах другой называется функтором.

что сохраняется композиция, и тождественная стрелка одной категории переходит в тождественную стрелку другой. Такая сохраняющая структуру интерпретация одной категории в терминах другой называется функтором.

Подумайте,
как должен быть устроен стандартный
функтор из моноида N0 со сложением
в Set?

Выходит, что по любому фиксированному множеству Х c определенным на нем эндоморфизмом α мы можем построить функториальную интерпретацию моноида
N0 в категории множеств.

Вопрос

Вообще говоря, категория множеств, в которой объектами являются не просто множества, а множества с фиксированной эндострелкой, называют категорией динамических систем.

Написать в чат

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?