Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

Моноид

М
Определение
Например,
в высказываниях
Моноидом называют множество M с определенной на нем ассоциативной бинарной операцией x , обычно называемой умножением, и нейтральным элементом e T M,
то есть таким, что
Напомним, что ассоциативность операции –
это когда неважно, как «ассоциировать» элементы друг с другом, или попросту – как расставлять скобки, то есть:
очевидно, что множество натуральных чисел с обычным умножением – это моноид.
Моноид является, пожалуй, 
одной из самых «непритязательных» алгебраических структур в том смысле, что накладываемые на него требования очень слабые:
очевидно, что множество натуральных чисел
с обычным умножением – это моноид.
Нейтральным элементом в данном случае будет пустая строка, которую часто обозначают как
ε или λ. Заметьте, что, в отличие от предыдущих примеров, этот моноид – некоммутативный, т. е.
Если к натуральным числам присоединить ноль,
то множество 0 также будет моноидом, если в качестве операции «умножения» в моноиде мы рассмотрим сложение, а в качестве нейтрального элемента – ноль.

Несколько более вычурный и,
одновременно, гораздо более часто используемый в программировании пример: множество S всех конечных строк некоторого фиксированного алфавита Σ с операцией так называемой конкатенации – присоединения начала одной строки к концу другой.
0
Если к натуральным числам присоединить ноль,
то множество N0 также будет моноидом, если
в качестве операции «умножения»
в моноиде мы рассмотрим сложение,
а в качестве нейтрального элемента – ноль.
Аксиомы моноида совпадают с аксиомами, которые накладываются на композицию стрелок/морфизмов в категории.
Разница лишь в том, 
что умножение в моноиде определено для любых 
двух элементов, тогда как композиция определена 
не для любых двух морфизмов 
(Вспомните, для каких?)
Вопрос
Сказать, что для любых двух морфизмов определена композиция – это то же самое, что сказать «категория состоит из одного объекта». То есть любой моноид образует категорию из одного объекта
(См. пример категории N в нашей закрытой статье).

Аксиомы
моноида совпадают
с аксиомами, которые накладываются
на композицию стрелок/морфизмов в категории.
Эта особенность моноидов делает возможным их изучение средствами теории категорий и позволяет рассматривать их в специфически категорном контексте.


Вопрос
которое можно мыслить себе как категорную «интерпретацию» моноида в терминах множеств. Отображение устроим следующим образом:

В частности, можно рассмотреть такое отображение между категориями

Единственному объекту N категории N поставим
в соответствие множество натуральных чисел
в категории множеств Set,
Все сказанное означает, что данная интерпретация сохраняет структуру категории, поскольку объектам сопоставляются объекты, а стрелкам стрелки таким образом,
Приведенный пример есть пример стандартной интерпретации моноида в Set:
при такой интерпретации единственному объекту любого моноида как категории
с одним объектом сопоставляется множество ее же стрелок в категории множеств.
Подумайте, как должен быть устроен стандартный функтор из моноида N0 со сложением в Set?
0
что сохраняется композиция,
и тождественная стрелка одной категории переходит
в тождественную стрелку другой. Такая сохраняющая структуру интерпретация одной категории
в терминах другой называется функтором.

что сохраняется композиция, и тождественная стрелка одной категории переходит в тождественную стрелку другой. Такая сохраняющая структуру интерпретация одной категории в терминах другой называется функтором.

Подумайте,
как должен быть устроен стандартный
функтор из моноида N0 со сложением
в Set?
0
Выходит, что по любому фиксированному множеству Х c определенным на нем эндоморфизмом α мы можем построить функториальную интерпретацию моноида
N0 в категории множеств.


Вопрос
Вообще говоря, категория множеств, в которой объектами являются не просто множества, а множества с фиксированной эндострелкой, называют категорией динамических систем.

0


Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?