Непрерывности Аксиома
Н
Аксиома непрерывности (полноты) множества действительных чисел – важное теоретическое допущение об устройстве множества
действительных чисел ℝ, или так называемой вещественной прямой.
Определение
a ≤ b,
всегда существует такое действительное число ξ, что
a ≤ ξ ≤ b
Геометрически это означает, что если на вещественной прямой все точки множества А лежат левее точек множества В, то на прямой найдется точка, разделяющая эти множества:
Таким образом, непрерывность (или полнота) множества действительных чисел ниоткуда не следует и не может быть выведена из других числовых аксиом – иначе говоря, мы просто верим, что это множество устроено именно так.
возникло еще у древних греков – одновременно с открытием иррациональности √2.
Они первыми обнаружили, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражается никакой дробью. То есть величина (длина диагонали) очевидным образом существует, но не может быть представлена рациональным числом.
в отличие от чисел действительных,
не обладает свойством полноты, или непрерывности, поскольку можно указать два подмножества рациональных чисел, удовлетворяющие условию аксиомы:
не обладает свойством полноты, или непрерывности, поскольку можно указать два подмножества рациональных чисел, удовлетворяющие условию аксиомы:
но числа, разделяющего эти множества, что и было показано греками, в множестве одних только рациональных чисел мы не найдем.
Однако, для нашей веры есть достаточно оснований. Cобственно, подозрение о том, что действительные числа должны быть устроены именно так,
В терминах только что сформулированной аксиомы мы могли бы сказать, что множество рациональных чисел
В терминах
только что сформулированной аксиомы мы могли бы сказать,
что множество рациональных чисел
только что сформулированной аксиомы мы могли бы сказать,
что множество рациональных чисел
–
Одним словом, «злосчастный» корень из двух заставил людей признать существование бесконечности величин, гораздо большую, чем бесконечность натуральных или даже рациональных чисел –
как известно, множество иррациональных чисел несчетно, то есть не может быть посчитано, занумеровано, или поставлено во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. А вот множество рациональных чисел – может.
То есть, иррациональные числа уже точно
без всяких пробелов заполняют дырки, необходимо присутствующие между числами рациональными.
Что, собственно, и формализует наши интуитивные ожидания, которые мы предъявляем к самому понятию «непрерывности» вещественной прямой.
без всяких пробелов заполняют дырки, необходимо присутствующие между числами рациональными.
Что, собственно, и формализует наши интуитивные ожидания, которые мы предъявляем к самому понятию «непрерывности» вещественной прямой.
То есть, иррациональные числа уже точно
без всяких пробелов заполняют дырки, необходимо присутствующие между.
Что, собственно,
и формализует
наши интуитивные ожидания, которые мы предъявляем
к самому понятию «непрерывности» вещественной прямой.
без всяких пробелов заполняют дырки, необходимо присутствующие между.
Что, собственно,
и формализует
наши интуитивные ожидания, которые мы предъявляем
к самому понятию «непрерывности» вещественной прямой.
Понравилась статья?