Они первыми обнаружили, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражается никакой дробью. То есть величина (длина диагонали) очевидным образом существует, но не может быть представлена рациональным числом.

Однако, для нашей веры есть достаточно оснований. Cобственно, подозрение о том, что действительные числа должны быть устроены именно так,

возникло еще у древних греков – одновременно с открытием иррациональности √2.

В терминах только что сформулированной аксиомы мы могли бы сказать, что множество рациональных чисел

в отличие от чисел действительных,
не обладает свойством полноты, или непрерывности, поскольку можно указать два подмножества рациональных чисел, удовлетворяющие условию аксиомы:

но числа, разделяющего эти множества, что и было показано греками, в множестве одних только рациональных чисел мы не найдем.

В терминах
только что сформулированной аксиомы мы могли бы сказать,
что множество рациональных чисел

–

Одним словом, «злосчастный» корень из двух заставил людей признать существование бесконечности величин, гораздо большую, чем бесконечность натуральных или даже рациональных чисел –

как известно, множество иррациональных чисел несчетно, то есть не может быть посчитано, занумеровано, или поставлено во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. А вот множество рациональных чисел – может.

То есть, иррациональные числа уже точно
без всяких пробелов заполняют дырки, необходимо присутствующие между числами рациональными.
Что, собственно, и формализует наши интуитивные ожидания, которые мы предъявляем к самому понятию «непрерывности» вещественной прямой.

То есть, иррациональные числа уже точно
без всяких пробелов заполняют дырки, необходимо присутствующие между.
Что, собственно,
и формализует
наши интуитивные ожидания, которые мы предъявляем
к самому понятию «непрерывности» вещественной прямой.