Одним из главных достоинств непрерывных дробей является то, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел обыкновенными дробями – опять-таки, как было продемонстрировано нами в примере.

Если число α рационально, то оно представимо в виде конечной непрерывной дроби (как в приведенном нами выше примере), иначе – число представляется в виде бесконечной непрерывной дроби.

Можно показать, что любое вещественное число допускает представление в виде непрерывной дроби.

в результате чего получаем следующее разложение числа α в непрерывную дробь

Если же α рационально, то процесс оборвется на n-м шаге для некоторого n. Это следует из алгоритма Евклида, о глубокой связи которого с непрерывными дробями вы можете прочитать в статье «Алгоритм Евклида», оформив подписку на наш журнал тут
Он же является эффективным алгоритмом преобразования обычной дроби в непрерывную.

Как уже упоминалось выше, непрерывные дроби очень удобно использовать для поиска хороших приближений вещественных чисел. Приведем два примера:

Несоизмеримыми величинами могут быть не только сторона квадрата длины 1 и его диагональ, но и продолжительность одних суток (одного полного оборота Земли вокруг своей оси) и продолжительность года (одного полного оборота Земли вокруг Солнца). В результате уже довольно давно известно, что в году у нас 365,2421988... дней. Пускай для простоты их даже будет 365,2422.

Полное представление дробной части 0,2422 в виде непрерывной дроби выглядит следующим образом:

Омар Хайям

Как вы думаете,
что это были за соображения?

В серии писем «Алгебра гармонии» мы уже писали, что повышению высоты звука на октаву соответствует удвоение его частоты.
Тогда как повышение на квинту – это увеличение частоты звучания
в полтора раза. Поэтому, когда теоретики музыки ставили перед собой задачу того, на сколько равных частей нужно разделить октаву, чтобы такое деление сохраняло попадание в квинту, то они по сути решали уравнение:

Таким образом, именно непрерывные дроби «виноваты»
в том, что в настоящее время у подавляющего большинства музыкальных инструментов с фиксированной высотой звуков октава состоит из 12 полутонов...