Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

ОРДИНАЛ

O
Определение
Ординальное число, 
или порядковый тип в теории 
множеств – обобщение понятия натурального числа на любые вполне упорядоченные множества, включая бесконечные.
Ординал можно определить рекурсивно – как множество ординалов, строго меньших данного: например, ординальное число 42 – это множество всех чисел, меньших 42:
42 = {0, 1, 2, . . . , 41}.
То есть α: = {β: β < α}.
Более точно
Начав с пустого множества, 
мы получим очень изящную 
и, одновременно, предельно абстрактную конструкцию для всех привычных нам натуральных чисел:
Но данную конструкцию мы можем продолжать
и дальше. Обозначив через ω первый бесконечный ординал, или множество всех конечных ординалов,
Так мы получим все ординалы-последователи вида ω + n, пока не дойдем до нового предельного ординала ω + ω = ω ∙ 2 – предельного в том смысле,
что он не следует ни за каким ординалом вида ω + n, где n – любое натуральное число. Как, впрочем,
и первый бесконечный ординал ω не следовал
ни за каким натуральным n.
Понятие натурального числа (в данном контексте наименьшим натуральным числом мы будем считать ноль) служит одновременно двум целям – оно может указывать как на размер множества (отвечает на вопрос: сколько?), так и на порядок элемента в некоторой последовательности (отвечает
на вопрос: который по счету?).
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
В случае же бесконечных множеств оказывается необходимо различать размер множества (его мощность)
и порядковый тип – поскольку существует множество способов упорядочить бесконечное множество одной и той же мощности.

Например, уже ω + 1 = {0, 1, 2, 3, . . . , ω} является иным порядковым типом, чем 1 + ω – множество, которое опять-таки с точностью до переименования будет изоморфно ω.
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
У порядкового типа ω + 1 есть наибольший элемент,
тогда как у ω наибольшего элемента нет. И это лишь первый пример того, что два множества одинакового «размера» (мощности) имеют различный порядковый тип.
ω + 1 ≠ 1 + ω
Отсюда непосредственно следует некоммутативность сложения
на ординалах:
Вообще говоря, ни одна арифметическая операция
на ординалах не будет коммутативной, что, согласитесь, делает ординальную арифметику крайне интригующей. В частности
2 ∙ ω = ωω ∙ 2 = ω + ω.
Здесь уместно будет пояснить, что умножение ординалов определяется как декартово произведение двух вполне упорядоченных множеств S и T.
Таким образом, ординалы, в отличие от кардинальных чисел содержат гораздо больше информации о множествах с точки зрения их упорядоченности.
В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным Алеф нуль א , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно – это так называемые трансфинитные числа:

0
В заключение скажем, наконец, что вполне упорядоченным множеством называется такое множество, каждое непустое подмножество которого имеет наименьший элемент – например, любой открытый интервал множества действительных чисел таким свойством не обладает.
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
Множество целых чисел с обычным порядком
также не является вполне упорядоченным.
Но его можно вполне упорядочить искусственно, расположив элементы следующим образом:
1, 2, 3, . . . , − 1, − 2, − 3, . . . ,
и также приведя к порядковому типу ω + ω.

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?