Но данную конструкцию мы можем продолжать
и дальше. Обозначив через ω первый бесконечный ординал, или множество всех конечных ординалов,

Так мы получим все ординалы-последователи вида ω + n, пока не дойдем до нового предельного ординала ω + ω = ω ∙ 2 – предельного в том смысле,
что он не следует ни за каким ординалом вида ω + n, где n – любое натуральное число. Как, впрочем,
и первый бесконечный ординал ω не следовал
ни за каким натуральным n.

Понятие натурального числа (в данном контексте наименьшим натуральным числом мы будем считать ноль) служит одновременно двум целям – оно может указывать как на размер множества (отвечает на вопрос: сколько?), так и на порядок элемента в некоторой последовательности (отвечает
на вопрос: который по счету?).

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

В случае же бесконечных множеств оказывается необходимо различать размер множества (его мощность)
и порядковый тип – поскольку существует множество способов упорядочить бесконечное множество одной и той же мощности.

Например, уже ω + 1 = {0, 1, 2, 3, . . . , ω} является иным порядковым типом, чем 1 + ω – множество, которое опять-таки с точностью до переименования будет изоморфно ω.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

У порядкового типа ω + 1 есть наибольший элемент,
тогда как у ω наибольшего элемента нет. И это лишь первый пример того, что два множества одинакового «размера» (мощности) имеют различный порядковый тип.

ω + 1 ≠ 1 + ω

Отсюда непосредственно следует некоммутативность сложения
на ординалах:

Вообще говоря, ни одна арифметическая операция
на ординалах не будет коммутативной, что, согласитесь, делает ординальную арифметику крайне интригующей. В частности

2 ∙ ω = ω ≠ ω ∙ 2 = ω + ω.

Здесь уместно будет пояснить, что умножение ординалов определяется как декартово произведение двух вполне упорядоченных множеств S и T.

Таким образом, ординалы, в отличие от кардинальных чисел содержат гораздо больше информации о множествах с точки зрения их упорядоченности.

В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным Алеф нуль א , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно – это так называемые трансфинитные числа:

0

В заключение скажем, наконец, что вполне упорядоченным множеством называется такое множество, каждое непустое подмножество которого имеет наименьший элемент – например, любой открытый интервал множества действительных чисел таким свойством не обладает.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

Множество целых чисел с обычным порядком
также не является вполне упорядоченным.
Но его можно вполне упорядочить искусственно, расположив элементы следующим образом:

1, 2, 3, . . . , − 1, − 2, − 3, . . . ,

и также приведя к порядковому типу ω + ω.