Это сделано для того, чтобы не возникало неоднозначности истолкования того, что же именно утверждается в теоремах, и самое главное – что в них НЕ утверждается.

То есть эта «теорема» вообще не является обещанием хоть что-то заплатить, хотя может показаться, что она эквивалентна утверждению:

Поэтому если математик
или логик сообщает, скажем, телевизионному мастеру:

«Если телевизор не заработает, то я не заплачу»,

то он утверждает лишь то, что невозможна такая ситуация, при которой телевизор по-прежнему
не работает, а деньги мастеру заплачены.

«Если телевизор заработает,
то я заплачу», – вовсе нет.
Она ему противоположна.

Итак, если прямая теорема имеет вид

то противоположная ей будет выглядеть как

Об этом варианте теоремы у нас шла речь при обсуждении Диагональной теоремы в теории категорий и ее связи с диагональным аргументом Кантора.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

1

Ознакомиться с данной темой можно тут

Логическая эквивалентность прямой и конрапозитивной теорем очень часто используется в математических доказательствах, поскольку контрапозитивный вариант часто оказывается гораздо легче доказать.

Например, теоретико-числовое утверждение о том, что если квадрат числа нечетный, то само число нечетно, «в лоб» доказать довольно непросто (попробуйте, кстати, это сделать). Вместо этого можно доказать эквивалентное утверждение: если число четно,
то квадрат его четный.

Каким бы сложным ни было доказательство самой теоремы, довольно легко понять, что доказывать ее имеет смысл только для n = 4 и простых показателей n ≥ 3, поскольку
если теорема Ферма верна для некоторого n, то она будет верна и для любого показателя αn, кратного n.

Вот это последнее суждение представляет собой
самостоятельную теорему, контрапозитивный вариант
которой мы сейчас и докажем.

Сначала переформулируем утверждение надлежащим образом. Оно будет звучать так:

Удобно, правда?

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

Но вообще-то, эту логическую эквивалентность прямой и контрапозитивной теорем