Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ ТЕОРЕМА

П
Определение
Противоположной теоремой в логике называют условное суждение, в котором условие
и заключение исходного суждения заменены их отрицаниями.
Суждением в широком смысле слова принято называть высказывание, которому можно приписать значение истины или лжи.
Высказывание «Все кошки – черные» в этом смысле будет суждением (хоть, как можно догадаться, и ложным), а вот императив «Иди и смотри!» – нет.
Пускай, например исходная теорема такая:
Тогда противоположной теоремой будет высказывание:
«Если гром грянет, то мужик перекрестится».
«Если гром не грянет, то мужик не перекрестится».
Это сделано для того, чтобы не возникало неоднозначности истолкования того, что же именно утверждается в теоремах, и самое главное – что в них НЕ утверждается.
То есть эта «теорема» вообще не является обещанием хоть что-то заплатить, хотя может показаться, что она эквивалентна утверждению:
Поэтому если математик
или логик сообщает, скажем, телевизионному мастеру:
«Если телевизор не заработает, то я не заплачу»,
то он утверждает лишь то, что невозможна такая ситуация, при которой телевизор по-прежнему
не работает, а деньги мастеру заплачены.
«Если телевизор заработает,
то я заплачу», – вовсе нет.
Она ему противоположна.
Итак, если прямая теорема имеет вид
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
то противоположная ей будет выглядеть как
Об этом варианте теоремы у нас шла речь при обсуждении Диагональной теоремы в теории категорий и ее связи с диагональным аргументом Кантора.
1
Ознакомиться с данной темой можно тут
Логическая эквивалентность прямой и конрапозитивной теорем очень часто используется в математических доказательствах, поскольку контрапозитивный вариант часто оказывается гораздо легче доказать.
Например, теоретико-числовое утверждение о том, что если квадрат числа нечетный, то само число нечетно, «в лоб» доказать довольно непросто (попробуйте, кстати, это сделать). Вместо этого можно доказать эквивалентное утверждение: если число четно,
то квадрат его четный.
Каким бы сложным ни было доказательство самой теоремы, довольно легко понять, что доказывать ее имеет смысл только для n = 4 и простых показателей n ≥ 3, поскольку
если теорема Ферма верна для некоторого n, то она будет верна и для любого показателя αn, кратного n.
Вот это последнее суждение представляет собой
самостоятельную теорему, контрапозитивный вариант
которой мы сейчас и докажем.
Сначала переформулируем утверждение надлежащим образом. Оно будет звучать так:
Удобно, правда?
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
Но вообще-то, эту логическую эквивалентность прямой и контрапозитивной теорем

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?