Ответ: да, существуют. Если кому-то станет интересно, то можете потом сами убедиться, что «этот ряд сходится», как говорят в таких случаях, при всех

Есть в математике такое понятие - аналитическое продолжение. Это такая техника расширения («продолжения») области определения функции за пределы, которые она имела исходно.

Поясняем на примере. Допустим, у нас есть функция

Какая у нее область определения? В том смысле, что существуют
ли вообще такие x, при которых данная бесконечная сумма складывается в какое-то конечное число?

Но посмотрите, эту же функцию можно переписать в несколько ином виде:

но все, что теперь находится в скобках, это сама f (x)!
То есть f (x) = 1 + xf (x), или f (x)(1 - x) = 1, что в итоге дает нам:

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.

и теперь на общей области определения (-1, 1) они совпадают, а на расширенной у последней появились новые значения.

Факториал тут, кстати сказать, фигурирует не обычный – имеющий смысл только для натуральных чисел – а тоже уже аналитически продолженный, и называться он должен по-хорошему гамма-функцией, но дело сейчас не в этом

А в том, что, выразив ζ(1 - s) через ζ(s), мы получаем возможность посчитать значения дзета-функции для отрицательных чисел – зная ζ(2), получить ζ(-1), если известна ζ(16), посчитать ζ(-15) и т. д.

Примерно то же самое проделал и Риман со своей дзетой, правда было это отнюдь не так легко, да и результат получился выглядящим, мягко говоря, немного посложнее:

В общем при таком представлении дзета-функции оказывается не слишком трудно заметить (можно сказать, «тривиально»), что она равна нулю при любом отрицательном четном s

Поэтому это все еще пока,
к сожалению, так называемые тривиальные нули дзета-функции. Нетривиальные же появляются тогда, когда ее область определения продолжается
на всю комплексную плоскость.
Все это проделал Риман в своей
нашумевшей работе 1859 года
с говорящим за себя названием «Über die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebene Grösse» (которое
мы по некоторым соображениям – эстетическим, в частности – позволяем себе оставить
без перевода).

Как-то, в контексте разговора об экспериментальной математике я уже упоминал о распределенном интернет-проекте ZetaGrid,

Что, как ни странно, может иметь важные следствия не только для «никому не нужной» теории чисел, но и для криптографии, и – что уж тем более неожиданно – для современной теории квантовых динамических систем..

Пользуясь приемом, во многом аналогичным тому, которым мы воспользовались в нашем примере, дзета-функцию можно «вывернуть» таким образом, что она будет выглядеть вот так:

Грубо говоря, из бесконечной суммы всех натуральных чисел в каких-то степенях ее можно превратить в бесконечное произведение всех простых чисел в каких-то степенях. И работа Римана, название которой было оставлено нами без перевода, вообще-то была посвящена проблеме распределения простых чисел, где им была установлена теснейшая связь этой проблемы с расположением нетривиальных нулей дзета-функции – если гипотеза верна, то мы имеем возможность получить гораздо более точные оценки этого распределения.

Ну и да – зачем все это нужно...