Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

РИМАНА ГИПОТЕЗА

P
Определение
Гипотеза Римана сформулированное в 1859 году Бернхардом Риманом и по сей день остающееся недоказанным математическое утверждение, касающееся поведения так называемой дзета-функции, также носящей имя автора гипотезы.
Гипотеза Римана входит в состав одной из 23 проблем Гильберта – представлявшихся на тот момент наиболее глобальными, с точки зрения другого выдающегося математика Давида Гильберта, математических задач, которые были представлены им на втором международном конгрессе математиков в 1900 году.
Это также единственная из немногих оставшихся нерешенными проблем Гильберта, которая оказалась включена в список семи «Проблем тысячелетия», и за решение которой Математический Институт Клэя обещает вознаграждение в размере одного миллиона долларов.
Утверждение звучит следующим образом:
Все нетривиальные нули 
дзета-функции имеют вещественную часть, равную
Ну а теперь давайте разбираться.
Напомним, что у любой функции есть область ее определения и область значений. На некоторых элементах из области определения функция f может принимать значение ноль – на графиках это обычно имеет вид пересечения графиком функции горизонтальной оси.
Собственно, это и иллюстрирует то, что на этих значениях x
обращается в ноль. А сами x при этом называют «нулями» функции.
Дзета-функция Римана – это, вообще говоря, сумма гармонического ряда
во всех слагаемых которого к знаменателям приписан показатель степени, и функциональная зависимость затем рассматривается именно от этого показателя, традиционно обозначаемого не буквой x, а буквой s.
Это и есть дзета-функция. Проблема только в том, что никаких нулей здесь пока не просматривается – ни тривиальных, ни, тем более, НЕтривиальных, что бы это ни значило..
Получается вот так:
И тем не менее, они есть.
f(x)
Есть в математике такое понятие - аналитическое продолжение. Это такая техника расширения («продолжения») области определения функции за пределы, которые она имела исходно.
Ответ: да, существуют. Если кому-то станет интересно, то можете потом сами убедиться, что «этот ряд сходится», как говорят в таких случаях, при всех
Поясняем на примере. Допустим, у нас есть функция
Какая у нее область определения? В том смысле, что существуют
ли вообще такие x, при которых данная бесконечная сумма складывается в какое-то конечное число?
Но посмотрите, эту же функцию можно переписать в несколько ином виде:
но все, что теперь находится в скобках, это сама f (x)!
То есть f (x) = 1 + xf (x), или f (x)(1 - x) = 1, что в итоге дает нам:
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
В случае конечных совокупностей эти две функции понятия натурального числа совпадают, поскольку существует единственный способ расположить элементы конечной совокупности по порядку – с точностью до их переименования.
и теперь на общей области определения (-1, 1) они совпадают, а на расширенной у последней появились новые значения.
Примерно то же самое проделал и Риман со своей дзетой, правда было это отнюдь не так легко, да и результат получился выглядящим, мягко говоря, немного посложнее:

Факториал тут, кстати сказать, фигурирует не обычный – имеющий смысл только для натуральных чисел – а тоже уже аналитически продолженный, и называться он должен по-хорошему гамма-функцией, но дело сейчас не в этом
А в том, что, выразив ζ(1 - s) через ζ(s), мы получаем возможность посчитать значения дзета-функции для отрицательных чисел – зная ζ(2), получить ζ(-1), если известна ζ(16), посчитать ζ(-15) и т. д.
В общем при таком представлении дзета-функции оказывается не слишком трудно заметить (можно сказать, «тривиально»), что она равна нулю при любом отрицательном четном s
Поэтому это все еще пока,
к сожалению, так называемые тривиальные нули дзета-функции. Нетривиальные же появляются тогда, когда ее область определения продолжается
на всю комплексную плоскость.
Все это проделал Риман в своей
нашумевшей работе 1859 года
с говорящим за себя названием «Über die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebene Grösse» (которое
мы по некоторым соображениям – эстетическим, в частности – позволяем себе оставить
без перевода).

Как-то, в контексте разговора об экспериментальной математике я уже упоминал о распределенном интернет-проекте ZetaGrid,
Ну и да – зачем все это нужно...

Пользуясь приемом, во многом аналогичным тому, которым мы воспользовались в нашем примере, дзета-функцию можно «вывернуть» таким образом, что она будет выглядеть вот так:

Грубо говоря, из бесконечной суммы всех натуральных чисел в каких-то степенях ее можно превратить в бесконечное произведение всех простых чисел в каких-то степенях. И работа Римана, название которой было оставлено нами без перевода, вообще-то была посвящена проблеме распределения простых чисел, где им была установлена теснейшая связь этой проблемы с расположением нетривиальных нулей дзета-функции – если гипотеза верна, то мы имеем возможность получить гораздо более точные оценки этого распределения.
Что, как ни странно, может иметь важные следствия не только для «никому не нужной» теории чисел, но и для криптографии, и – что уж тем более неожиданно – для современной теории квантовых динамических систем..

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?