Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

Выбора аксиома

В
Определение
Аксиома выбора — одна из аксиом аксиоматической теории множеств. Это утверждение, состоящее в том, что  из любого семейства непустых множеств мы всегда можем выбрать ровно по одному представителю.
В качестве чрезвычайно наглядного примера предлагаем вам представить себе множество, состоящее из бесконечного числа коробок, в каждой из которых находится по паре ботинок. Очевидно, что мы легко можем выбрать из такой бесконечной совокупности ровно по одному ботинку из каждой коробки, всякий раз вынимая, ну, скажем, правый ботинок. Однако если ботинки заменить шнурками, то наше правило оказывается неприменимым: более того, несмотря на кажущуюся простоту операции, такого правила мы никогда не построим поэтому его существование и приходится предполагать аксиоматически.
Можно возразить, что мы могли бы перенумеровать шнурки и все время выбирать шнурок номер один, но сделать этого мы также не можем: поскольку множество пар шнурков бесконечно, наша процедура нумерации никогда не закончится. Утверждение же о том, что мы в принципе способны осуществить подобную процедуру (любое множество может быть вполне упорядочено), называется теоремой Цермело и оказывается эквивалентной аксиоме выбора.
В случае конечных множеств никаких проблем не возникает. Но существуют такие бесконечные совокупности, для которых такую функцию указать не удается.
Выдающийся философ и математик Бертран Рассел так отозвался об аксиоме выбора:
«Сначала она кажется очевидной, но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы. Под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает»
С помощью аксиомы выбора удалось сделать много математических открытий, которые были бы невозможны без нее.
Однако среди следствий аксиомы есть и такие парадоксальные утверждения, которые вызывают интуитивные возражения среди части математиков. Например, появляется возможность доказать парадокс Банаха – Тарского, суть которого сводится к тому, что шар оказывается возможным разбить на конечное число частей и сложить из них два точно таких же шара.

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?