To main content
abc-гипотеза
В данной статье речь пойдет об одной из самых фундаментальных гипотез теории чисел, споры о доказательстве которой не утихают и по сей день. Впрочем, обо всем по порядку.
abc-гипотеза была сформулирована независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 и Джозефом Эстерле в 1988 годах. Для понимания ее сути будет достаточно представлений об элементарной теории чисел, которые мы напомним ниже.

Итак, сначала несколько определений.
Определения
Простое число – натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя – единицу и себя.
Радикалом числа называется число, равное произведению различных простых делителей целого числа. Здесь же следует отметить, что согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей в каких-то степенях, поэтому радикал есть произведение этих самых простых множителей, взятых в первых степенях.
Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель которых равен единице.
Возможно, понятие радикала числа покажется кому-то непривычным, но ситуация станет более знакомой, если мы вспомним, что радикал – это синоним арифметического корня (от лат. radix – корень).
Теперь рассмотрим тройки взаимно простых чисел a, b и c таких, что a + b = c, причем, не теряя общности, мы можем рассматривать тройки a, b и c, расположенные по возрастанию, а также радикал их произведения rad(abc).

abc-гипотеза говорит о том, что тройки, для которых выполняется неравенство
c > rad (abc),
встречаются в некотором смысле реже.
Иначе можно сказать, что трудно найти такие взаимно простые числа, разложение которых содержит высокие степени, и разложение суммы этих чисел также содержит высокие степени.
Приведем пару примеров, а затем сделаем формулировку более строгой.
Пусть a = 64, b = 81, c = a + b = 64 + 81 = 145
rad(abc) = rad(64 ∙ 81 ∙ 145) =
= rad(2⁶ ∙ 3⁴ ∙ 5 ∙ 29) = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 29 = 870

145 < 870, то есть c < rad(abc)
Пусть a =5, b = 27, c = a + b = 5 + 27 = 32
rad(abc) = rad(5 ∙ 27 ∙ 32) = rad(5 ∙ 3³ ∙ 2⁵) = 5 ∙ 3 ∙ 2 = 30
32 > 30, то есть c > rad(abc)
rad(abc) = rad(5 ∙ 27 ∙ 32) =
rad(5 ∙ 3³ ∙ 2⁵) = 5 ∙ 3 ∙ 2 = 30

32 > 30, то есть c > rad(abc)
Тройки второго типа считаются исключительными.
Численные методы позволили подсчитать количество таких троек в определенных пределах. Оказалось, что для < 100 таких троек всего 6, для c < 1000 – 31, а для c < 1000000 – 1268.
Строгая формулировка abc-гипотезы говорит как раз о количестве таких исключительных троек, а также о том, насколько больше может быть число c.
В этом виде гипотеза прямо утверждает, что сумма чисел, являющихся произведением простых в больших степенях не может быть произведением простых чисел в больших степенях.
Существуют и другие, эквивалентные формулировки гипотезы – в частности, такая:
Так почему же именно эта гипотеза о том, каким будет разложение на простые множители суммы взаимно простых чисел, интересует современных математиков?
Дело в том, что с момента формулировки самой abc-гипотезы математики успели свести к ней множество нерешенных задач теории чисел и даже уже доказанную иным путем Великую теорему Ферма.
А для степеней, больших 6, справедливость ВТФ при условии справедливости abc-гипотезы можно показать так.
Множество других гипотез и теорем теории чисел, доказательства которых сводятся к abc-гипотезе настолько велико, что выходит за рамки данной статьи.
В 2012 году японский математик Синъити Мотидзуки опубликовал в интернете серию работ, по его словам, доказывающих abc-гипотезу. Камнем преткновения для математического сообщества стал объем доказательства (более 500 страниц), а также то, что автор объединил несколько кажущихся несочетаемыми областей математики, например, представляя арифметическую теорию пространств Тейхмюллера, которые были до этого сугубо геометрическим объектом. При этом Мотидзуки начинает с того, что переводит задачу в область эллиптических кривых, выполняя тот же переход, что и Эндрю Уайлс в доказательстве Великой Теоремы Ферма.
В результате, гипотеза сводится к доказательству неравенства между двумя величинами, связанными с эллиптическими кривыми.
Однако Мотидзуки идет дальше и переводит это неравенство в другую форму. Именно это является критическим моментом в доказательстве, споры о котором не утихают.
На данный момент доказательство опубликовано в научном журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), однако математическим сообществом оно пока не принято.
В заключение предложим читателю следующее рассуждение, иллюстрирующее фундаментальность abc-гипотезы.
Каждому из нас из младших и средних классов школы знакомо множество натуральных чисел, операции сложения и умножения, простые числа и разложение на простые множители. (В скобках заметим, что начала теории чисел изучают в средних классах, а вот продолжить изучение можно на старших курсах математических факультетов университетов, что само по себе намекает на простоту формулировок и исключительную сложность доказательств.)
Так вот с точки зрения операции сложения, любое натуральное число есть сумма некоторого количества единиц. А с точки зрения операции умножения, согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число есть произведение простых множителей. Именно тогда, когда мы пытаемся понять, как сложение и умножение влияют друг на друга, и начинаются трудности.
Например, до сих пор не доказанные гипотезы Гольдбаха о представимости натурального числа в виде суммы простых или предмет данной статьи – abc-гипотеза.
Таким образом, доказательство abc-гипотезы может открыть нам некую фундаментальную структуру чисел. Согласитесь, настолько важный результат стоит многолетних проверок его доказательства.
Заключение

Читайте больше наших статей по подписке.

Первый месяц всего за 99!

Читайте больше наших статей по подписке.
Первый месяц всего за 99!

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?