Как Аль-Хорезми боролся с отрица-тельными числами
Школьное математическое знание традиционно делится на алгебру и геометрию, в старших классах появляется математический анализ.

Тема: Алгебраический подход

Хоть такая классификация весьма и весьма условна, все же каждый раздел математики действительно имеет свою специфику, суть которой состоит даже не в различии изучаемых объектов (скажем, уравнения, фигуры и функции), а в различных способах думать об этих объектах.

Определение понятия
Тема: Алгебраический подход
Слово «алгебра» обязано своим происхождением известному математическому трактату средневекового арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми,
Определение понятия
Допустим, мы понятия не имеем, что члены уравнения можно переносить из одной его части в другую с противоположным знаком.
Разберем это на примере уравнения:
Равенство частей от этого не изменится.
x + 1 + x2– x – 1 = 3 + x + 1
x2 = 3 + x + 1
x2 = x + 4
Не знаем, что такое отрицательность, поэтому для нас существуют определенные «пустоты», которые мы заполняем понятными положительными величинами.
название которого в русском переводе звучит как «Краткая книга о восполнении и противопоставлении» (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing).
Например, в уравнении из примера можно к обеим частям прибавить по х и по 1:
Вычисления через восполнение и противопоставление, уравновешивание — это не что иное, как привычное нам перенесение членов из одной части уравнения в другую и приведение подобных слагаемых.
И чтобы баланс не изменился, уравновешиваем эти добавленные величины теми же величинами с другой стороны.
Теперь мы можем сократить иксы и единицы слева и сложить числа справа:

Но и справа, и слева теперь знакомые, положительные величины.
Иными словами, мы сперва пополнили, а затем уравновесили. При этом обе части уравнения как были, так и остались равнозначными — словно две чаши весов, на которые добавили гири одинакового веса.


Вывод
В трактате прием восполнения назывался «аль-джебр», и да, именно от него произошло название «алгебра». А от имени самого Аль-Хорезми произошел другой термин — «алгоритм».
Аль-джебр
Нам кажется чем-то самим собой разумеющимся то, что результат сложения, умножения, вычитания или деления чисел тоже является числом. Хотя, как видно из того же трактата аль-Хорезми, уже при вычитании из меньшего числа большего люди не сразу смогли приписать какой-то смысл получавшемуся у них результату.
И даже сегодня, когда мы выполняем арифметические операции, например, с целыми числами, мы, как правило, не задумываемся о том, почему результат той или иной операции в принципе существует как и о том, «где» он существует.
Строго говоря, отрицательные числа и ноль приходилось «докладывать» в известное и понятное множество чисел натуральных, чтобы результат такой операции лежал в этом же множестве, то есть, чтобы операция вычитания не выводила нас за пределы множества элементов, называемых числами.
Алгебра в современном понимании
Так вот, алгебра в современном ее понимании занята не числами и не «интуитивно понятными» величинами, а структурами — множествами элементов произвольной природы, с определенными на этих элементах операциями.
Примером могут послужить полиномы, или многочлены
Или такие:
Возьмем, например, многочлены x + 1 и x – 1
Поэтому можем разделить x2 – 1, скажем, на x + 1:
( x + 1 ) + ( x – 1 ) = 2x
( x + 1 ) – ( x – 1 ) = 2
( x + 1 ) × ( x – 1 ) = x2 – 1
То есть, мы как бы совершаем обратное мыслительное движение: мы начинаем, например, не с «понятных чисел», обнаруживая в процессе то, что мы можем с ними делать, а наоборот — мы сначала определяем структуру и уже в процессе ее изучения убеждаемся, что числа тоже ее образуют, т. е. являются ее частным случаем. Зачастую изучать свойства структуры оказывается проще.
Например, такие:
x2 – 1
x + 1
=
( x + 1 ) × ( x – 1 )
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
3x4 + x2 – 8
x + 1
x – 1
Только если в случае с числами, когда мы говорим, что семь делится на два с остатком, мы записываем:
Однако, такой многочлен как x2 — 2 на x + 1 нацело уже не разделится. Но его можно разделить с остатком — точно также, как и целые числа!
7 = 3 × 2 + 1
x2 – 2 = x2 – 1 – 1 =
( x – 1 ) × ( x + 1 ) + ( – 1 )
То есть x2 – 2 разделить на x + 1 равняется x – 1 и – 1 в остатке
то тут мы должны записать следующее:
=
Мы видим, что здесь уже сами целые числа являются подмножеством многочленов — их при этом мыслят себе как постоянные многочлены, т. е. многочлены с отсутствующими переменными
Мы можем их:
Тема: Алгебраический подход
Интересно, что они ведут себя как целые числа! Их можно складывать, вычитать, умножать друг на друга и даже делить нацело и с остатком
Наверное, понятно, что раз смогли умножить, то получившийся результат и разделится на любой из сомножителей
Умножить:
Сложить:
Вычесть:
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1
действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
Вывод
Мы видим, что эти уже довольно громоздкие конструкции x2 – 1, x + 1, x – 1 и –1 действительно можно рассматривать как целые числа, потому что нет ничего, что мы бы могли делать с числами и не могли бы делать с конструкциями такого вида, если мы и те и другие мыслим в терминах множеств элементов с операциями.
C некоторыми оговорками можно сказать, что похожим образом ведут себя даже такие экстравагантные элементы как высказывания.
Вывод
Алгебраические структуры
Есть и еще один взгляд на алгебру как на раздел математики, для которого характерен особый подход к изучению математических объектов.
Геометрическая симметрия хороша своей наглядностью
Если рассмотреть в качестве примера правильный треугольник, то повороты его на 120, 240 и 360 градусов в плоскости вокруг центра симметрии
а также отражения в пространстве
Sa , Sb , Sc
относительно всех его трех осей симметрии возвращают его на место, т. е. форма треугольника остается инвариантной относительно всех преобразований.
Sb
Тема: Алгебраический подход
240°
*
*
Алгебра изучает инварианты, т. е. такие свойства объектов, которые остаются неизменными (инвариантными) относительно некоторых преобразований. Частным случаем инварианта является симметрия — в частности, симметрия геометрическая, но не только она
Sa = 120°
120° = 360° = 0°
120°
240°
Если под симметриями треугольника мы договоримся понимать множество, элементами которого будут шесть перечисленных действий, то мы получим полную группу симметрий треугольника.
Это множество обладает и другими совершенно особенными свойствами, знакомство с которыми приведет нас «в самое сердце» современной алгебры — к теории групп. Но об этом уже точно не в этот раз.
Других симметрий у треугольника нет. Это значит, что на множестве этих элементов можно определить операцию, очень похожую на умножение — «умножая» симметрии друг на друга, мы всегда будем получать элемент из нашей группы. Что и было показано на рисунках.
Вывод