Bот как, например, используются комплексные числа в реальной жизни? Нет, положительно у обратившегося с подобным вопросом попросту нет сердца...

Появление комплексных чисел традиционно и не без причин связывают с попытками решения кубических уравнений. Хотя они возникают уже и при решении квадратных. Но где реальность и где уравнения – пускай даже и квадратные? И тем не менее: потерпите, реальность скоро появится…

Джероламо Кардано в своей «Ars Magna» (1545) решает следующую задачу: разделить величину в 10 единиц на две части таким образом, чтобы произведение частей равнялось 40.

Даже вынося за скобки реальный психологический дискомфорт, который испытывали поначалу даже сами математики при работе с квадратными корнями из отрицательных величин, мы видели, что мнимые величины стали приносить реальную пользу – которая, правда, все еще находилась внутри самой математики.
Хоть это не так уж и мало. Посудите сами, перед исследователями открылась некая область, в которую можно зайти, что-то там такое поделать по вполне строгим, хоть и не до конца объяснимым правилам – и вернуться обратно с достоверным и, что самое главное, реальным результатом!

Приведем еще один пример – на этот раз из теории чисел. То есть, чисел даже не вещественных (reals), а целых (integers) – а что может быть реальнее целых чисел? Разве что натуральные...

Кто-то из классиков (то ли Ферма, то ли Гаусс, то ли Эйлер) однажды задался вопросом: в каком случае простое число р представимо в виде суммы квадратов двух чисел?
Ответ на этот вопрос известен сейчас как теорема Ферма-Гаусса-Эйлера (оказалось, что в таком виде представляются только простые числа, дающие в остатке от деления на 4 единицу), доказательство ее довольно непросто, и обсуждать его мы не станем – скажем лишь, что один из возможных путей к нему также лежит через комплексные числа.

Эту новую — полезную, но «бессмысленную» сущность стали называть мнимой единицей. С ее участием все используемые нами ранее выражения приобретают более системный и аккуратный вид:

«Мнимые» сущности опять «чудесным образом» исчезли, оставив нас с суммой квадратов двух целых чисел (сумма, разность и произведение двух целых есть целое, не правда ли?).
То есть, мы занырнули в более удобную, хоть и небычную область, и вышли из нее с интересующим нас результатом в области обычной!

Стоит ли удивляться, что первым человеком, указавшим на то, как надо «правильно» понимать новые числа, снова оказался Гаусс. С его легкой руки мнимая единица, а с ней – и все мнимая ось расположились перпендикулярно к действительной числовой оси, и так у воображаемых чисел появилась вполне реальная, геометрическая интерпретация:

Гаусс прямо говорит о крайне неудачно выбранной терминологии в случае с комплексными числами: если бы мы сразу отождествляли числа с направлениями, – считает он – и мыслили бы положительные числа направленными вперед, отрицательные – назад, а воображаемые (мнимые) – в сторону, то вместо замешательства была бы полная ясность.

Но отождествлением множества комплексных чисел с множеством точек обычной плоскости дело отнюдь не ограничилось. Помните, мы уже как-то говорили о том, что числа можно рассматривать как действия? А точнее, как сдвиги числовой прямой вправо-влево или ее растяжения/сжатия? Так вот эта аналогия в случае с комплексными числами начинает работать еще полнее: к сдвигам и растяжениям плоскости добавляются ее вращения!
Отождествление комплексного числа с поворотом и растяжением плоскости оказывается возможным благодаря тому, как на этом множестве определено умножение. Давайте посмотрим, как это выглядит на конкретных примерах.

Начнём с самого простого – с умножения единицы вещественной на единицу мнимую:

Это же останется верным, если мы домножим на i произвольное комплексное число z — в геометрической интерпретации это очень хорошо видно:

В общем же случае умножение числа z на число w будет тождественно повороту плоскости на некоторый угол одновременно с ее растяжением так, чтобы точка z оказалась совмещённой с новой точкой, равной произведению zw:

i ∙ 1 = i, то есть умножение на i переводит единицу в i, а это не что иное, как поворот на 90 градусов против часовой стрелки.

Умножив единицу на i дважды, то есть возведя мнимую единицу в квадрат, получим −1, что в точности соответствует развороту плоскости на 180 градусов

1

3

4

2

Это удивительное свойство радикально отличает обычную координатную плоскость, в которой возможно лишь сложение точек как векторов, от плоскости, с введённой на ней структуры комплексных чисел – что делает последнюю чрезвычайно удобной для компьютерного моделирования и вообще – для визуализации сложных динамических процессов, которые иначе чрезвычайно трудно себе представить.