то его немедленно начинает интересовать, а какой смысл можно придать всем этим буквам? Иначе говоря, какие математические объекты можно подставлять вместо них, чтобы получалось нечто осмысленное?

Если это, скажем, числа, то только ли натуральные? Или они могут быть также целыми, рациональными, вещественными, комплексными?

Так, вопрос о смысле отрицательной степени естественным образом встает из соображений специфического математического любопытства — из желания возвести основание во что-то помимо натурального числа. Так и появляются все эти

Хороший вопрос. И ответить на него можно, как минимум, двумя способами. Первый вариант ответа расскажет нам немного больше о том, как вообще устроено мышление математика.

Тут же возникает желание, научившись возводить какое-то а в какую-то степень b, немедленно научиться по результату с возвращать основание а, или ту степень b, в которую было возведено а, чтобы получилось с.

Первая операция называется корнем b-ой степени из с, а вторая – логарифмом с по основанию а. Последняя обладает одним удивительным свойством, удобство которого приводит нас к необходимости возведения в отрицательную степень уже с новой, более прагматичной стороны.

Если мы будем последовательно возводить в натуральную степень двойку, то получим следующий ряд чисел.

Теперь, если нам нужно умножить, скажем, 64 на 32, то мы можем представить эти числа как соответствующие степени двойки (2⁶ и 2⁵), сложить показатели этих степеней и найти результат умножения, тоже представленный как степень двойки с показателем, являющимся их суммой. В таких случаях говорят, что мы множество чисел A = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...} поставили во взаимно-однозначное соответствие с множеством B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} , а способ, с помощью которого мы это сделали, и называется логарифмированием.

Итак, логарифмирование обладает одним удивительным свойством, удобство которого приводит нас к необходимости возведения в отрицательную степень уже с новой, более прагматичной стороны.

Остается только заметить, что нам сильно повезло, что числа 64 и 32 оказались представимы в виде натуральной степени числа 2, но что нам делать, если мы хотим уметь умножать тем же способом любые положительные числа? Ну,

Но мы сделали не только это – сложив числа 5 и 6 в множестве В, мы смогли вернуться обратно в множество А так, что сложение в В оказалось согласованным с умножением в А! И возвращались мы уже как раз, возводя двойку в соответствующую натуральную степень.