abc-гипотеза
В данной статье речь пойдет об одной из самых фундаментальных гипотез теории чисел, споры о доказательстве которой не утихают и по сей день. Впрочем, обо всем по порядку.
abc-гипотеза была сформулирована независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 и Джозефом Эстерле в 1988 годах. Для понимания ее сути будет достаточно представлений об элементарной теории чисел, которые мы напомним ниже.

Итак, сначала несколько определений.
Определения
Простое число – натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя – единицу и себя.
Радикалом числа называется число, равное произведению различных простых делителей целого числа. Здесь же следует отметить, что согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей в каких-то степенях, поэтому радикал есть произведение этих самых простых множителей, взятых в первых степенях.
Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель которых равен единице.
Возможно, понятие радикала числа покажется кому-то непривычным, но ситуация станет более знакомой, если мы вспомним, что радикал – это синоним арифметического корня (от лат. radix – корень).
Теперь рассмотрим тройки взаимно простых чисел a, b и c таких, что a + b = c, причем, не теряя общности, мы можем рассматривать тройки a, b и c, расположенные по возрастанию, а также радикал их произведения rad(abc).

abc-гипотеза говорит о том, что тройки, для которых выполняется неравенство
c > rad (abc),
встречаются в некотором смысле реже.
Иначе можно сказать, что трудно найти такие взаимно простые числа, разложение которых содержит высокие степени, и разложение суммы этих чисел также содержит высокие степени.
Приведем пару примеров, а затем сделаем формулировку более строгой.
Пусть a = 64, b = 81, c = a + b = 64 + 81 = 145
rad(abc) = rad(64 ∙ 81 ∙ 145) =
= rad(2⁶ ∙ 3⁴ ∙ 5 ∙ 29) = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 29 = 870

145 < 870, то есть c < rad(abc)
Пусть a =5, b = 27, c = a + b = 5 + 27 = 32
rad(abc) = rad(5 ∙ 27 ∙ 32) = rad(5 ∙ 3³ ∙ 2⁵) = 5 ∙ 3 ∙ 2 = 30
32 > 30, то есть c > rad(abc)
rad(abc) = rad(5 ∙ 27 ∙ 32) =
= rad(5 ∙ 3³ ∙ 2⁵) = 5 ∙ 3 ∙ 2 = 30

32 > 30, то есть c > rad(abc)
Тройки второго типа считаются исключительными.
Численные методы позволили подсчитать количество таких троек в определенных пределах. Оказалось, что для c < 100 таких троек всего 6, для c < 1000 – 31, а для c < 1000000 – 1268.
Строгая формулировка abc-гипотезы говорит как раз о количестве таких исключительных троек, а также о том, насколько больше может быть число c.
В этом виде гипотеза прямо утверждает, что сумма чисел, являющихся произведением простых в больших степенях не может быть произведением простых чисел в больших степенях.
Существуют и другие, эквивалентные формулировки гипотезы – в частности, такая:
Так почему же именно эта гипотеза о том, каким будет разложение на простые множители суммы взаимно простых чисел, интересует современных математиков?
Дело в том, что с момента формулировки самой abc-гипотезы математики успели свести к ней множество нерешенных задач теории чисел и даже уже доказанную иным путем Великую теорему Ферма.
А для степеней, больших 6, справедливость ВТФ при условии справедливости abc-гипотезы можно показать так.
Множество других гипотез и теорем теории чисел, доказательства которых сводятся к abc-гипотезе настолько велико, что выходит за рамки данной статьи.
В 2012 году японский математик Синъити Мотидзуки опубликовал в интернете серию работ, по его словам, доказывающих abc-гипотезу. Камнем преткновения для математического сообщества стал объем доказательства (более 500 страниц), а также то, что автор объединил несколько кажущихся несочетаемыми областей математики, например, представляя арифметическую теорию пространств Тейхмюллера, которые были до этого сугубо геометрическим объектом. При этом Мотидзуки начинает с того, что переводит задачу в область эллиптических кривых, выполняя тот же переход, что и Эндрю Уайлс в доказательстве Великой Теоремы Ферма.
В результате, гипотеза сводится к доказательству неравенства между двумя величинами, связанными с эллиптическими кривыми.
Однако Мотидзуки идет дальше и переводит это неравенство в другую форму. Именно это является критическим моментом в доказательстве, споры о котором не утихают.
На данный момент доказательство опубликовано в научном журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), однако математическим сообществом оно пока не принято.
В заключение предложим читателю следующее рассуждение, иллюстрирующее фундаментальность abc-гипотезы.
Каждому из нас из младших и средних классов школы знакомо множество натуральных чисел, операции сложения и умножения, простые числа и разложение на простые множители. (В скобках заметим, что начала теории чисел изучают в средних классах, а вот продолжить изучение можно на старших курсах математических факультетов университетов, что само по себе намекает на простоту формулировок и исключительную сложность доказательств.)
Так вот с точки зрения операции сложения, любое натуральное число есть сумма некоторого количества единиц. А с точки зрения операции умножения, согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число есть произведение простых множителей. Именно тогда, когда мы пытаемся понять, как сложение и умножение влияют друг на друга, и начинаются трудности.
Например, до сих пор не доказанные гипотезы Гольдбаха о представимости натурального числа в виде суммы простых или предмет данной статьи – abc-гипотеза.
Таким образом, доказательство abc-гипотезы может открыть нам некую фундаментальную структуру чисел. Согласитесь, настолько важный результат стоит многолетних проверок его доказательства.
Заключение