Введение в геометрию с элементами логики

Часть 1. Влияние Евклида

"The fact that for two thousand years the “Elements” was the usual text-book on the subject raises a strong presumption that it is not unsuitable for that purpose."

W. W. Rouse Ball

Нас сейчас будет интересовать геометрическая его часть.

«Тот факт, что на протяжении двух тысячелетий текст „Начал“ использовался как стандартный учебник геометрии, рождает сильное подозрение, что с этой своей ролью он довольно хорошо справлялся» — писал один небезызвестный историк математики А о фундаментальном труде древнегреческого математика Евклида, написанном им в III в. до н. э. и посвященном геометрии и теории чисел.

Фраза принадлежит английскому математику и автору целого ряда книг по истории математики Вальтеру Уильяму Рауз Боллу

Когда читаешь «Начала» Евклида и видишь, как, один за другим, там строятся все новые и новые выводы геометрических истин из ничтожно малого набора аксиом, действительно оказываешься поражен тем, чего можно достичь путем тщательных рассуждений.

Евклид начинает с определений точек и линий. Важно понимать, что эти объекты, как указывает само слово «геометрия», являются абстракциями, полученными в результате наблюдений за способом, которым египтяне имели привычку размечать довольно пологие берега Нила, вбивая в них колышки, и соединяя их между собой туго натянутой веревкой.

Это было необходимо, поскольку Нил разливался и смывал любую другую разметку, позволявшую людям отличать свое поле от чужого, и каждый год ее приходилось делать заново.

Колышки и веревки в данном контексте являются не слишком сложными вещами – у них всего несколько важных свойств, и они легко могут быть абстрагированы до свойств точек и линий на плоскости. Будучи записанными, эти свойства становятся аксиомами планиметрии. Связь с реальным миром здесь очевидна, хоть в дальнейшем и рассматриваются только некоторые из его сущностных свойств.

Философское отступление:

К несчастью, для многих греков связь с реальностью была слишком незначительной деталью, чтобы обращать на нее внимание. Аксиомы были объявлены «самоочевидными истинами», взятыми силой чистой мысли у реальности, и философы перестали задумываться над тем, что аксиомы могли быть чем-то еще. Думать, что они отвлечены от таких простых вещей, как колышки и веревки, было бы слишком скучно. Поэтому, в частности, Платон заявил, что все действительно важные истины можно либо умозреть непосредственно, либо логически вывести из первых путем чистого рассуждения.

Более скромный человек, возможно, заключил бы, что есть истины математические, которые выводятся как следствия из некоторого набора положений, и есть истины, основанные на наблюдении, и это, вообще говоря, не одно и то же. Но опьяненному «греческим чудом» Платону уже было не остановиться…

Давайте, однако, вернемся к геометрии

Вообще «определений» у Евклида аж целых 23, но обычно комментаторы при анализе аксиоматической структуры Евклидовой (в буквальном сейчас смысле) геометрии ограничиваются лишь первыми семью.

Определения содержатся в Первой книге «Начал» Евклида. Вот они:

1. Точка есть то, что не имеет частей

2. Линия же – длина без ширины

3. Концы же линии – точки

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину

6. Края же поверхности – линии

7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней

После определений идут «постулаты» – собственно, это то, что позднее стали называть «аксиомами Евклида».

Допустим:

1. Что от каждой точки до всякой точки можно провести прямую линию

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой

3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг

4. И что все прямые углы равны между собой

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы, меньшие двух прямых

Сам же Евклид называет «аксиомами» утверждения самого общего характера – можно сказать, что это не геометрические истины, а логические:

1. Равные одному и тому же равны и между собой

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны

5. И удвоенные одного и того же равны между собой

6. И половины одного и того же равны между собой

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой

8. И целое больше части

9. И две прямые не содержат пространства

К сожалению, впоследствии было замечено, что, несмотря на свою стройность и красоту, работа Евклида имееет некоторые пробелы.

Принятых Евклидом аксиом недостаточно для доказательства всех истинных геометрических утверждений.

Например, уже в самом первом Предложении 1-й книги при построении равностороннего треугольника с помощью двух окружностей, Евклид использует тот факт, что две окружности одинакового радиуса с центрами, расположенными на расстоянии, равном данному радиусу, пересекаются в двух точках. Однако этот геометрический факт им нигде ни постулируется, ни выводится.

Или, скажем, в четвертом Предложении все той же Первой книги он пользуется не до конца обоснованным понятием наложения, ссылаясь при этом на некоторые свойства данного преобразования, которые также нигде до этого явно не указаны.

Кроме того, Евклид пытается дать определения вообще всем понятиям, которые использует, в том числе и указанным выше исходным понятиям, что, вообще говоря, невозможно – необходимо должны оставаться понятия, принимаемые без определений.

Но пафос работы состоящий в том, что с помощью конечного числа интуитивно очевидных геометрических истин и столь же интуитивно верных логических умозаключений можно строго доказывать истинность любых других геометрических фактов, истинность которых, мягко говоря, уже не столь очевидна – неоспорим.

Введение в геометрию с элементами логики.
Часть 2. Аксиоматика Гильберта

Читать