Исследуя вопрос аксиоматизации геометрии в предыдущих частях, мы в каком-то смысле «нечаянно» завладели выводом всех трех признаков равенства треугольников.

Хотя непосредственный вывод был проведен только для первого, мы надеемся, что для вас не составит труда разобраться и с остальными.

Если доказательства в изложении Гильберта вам при этом покажутся несколько вычурными, можно воспользоваться стандартным учебником геометрии под редакцией того же Атанасяна, на который мы уже ссылались в статье «Аксиоматика Гилберта».

Учебник для 10–11 классов

Учебник для 7–9 классов

И все-таки есть какая-то искусственность в таком прыжке от самых основ геометрии к утверждениям о равенстве фигур, поэтому мы предлагаем отступить немного назад и поговорить о более простых геометрических объектах – прямых линиях и углах, образующихся при их пересечении.

Рассмотрим вначале произвольный случай пересечения двух прямых a и b.

В результате их пересечения образуются пары вертикальных и пары смежных углов:

В частности, углы 1 и 2 называются смежными, а углы 1 и 3 – вертикальными.

Сумма смежных углов равна развернутому углу, или 180 градусам.

При этом надо понимать, что равенство смежных углов развернутому не устанавливается с помощью транспортира или другого измерительного инструмента – они таковы по построению, поскольку одна сторона у них общая, а две другие являются продолжением друг друга, и, значит, лучи ОА и ОС образуют прямую линию.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Два частных случая взаимного расположения прямых особенно важны – это случай перпендикулярных и случай параллельных прямых.

Покажем, что вертикальные углы равны:

Угол 2 является смежным как с углом 1,
так и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1 + ∠2 = 180° и ∠2 + ∠3 = 180°. Откуда ∠1 = 180° − ∠2 = ∠3.

Говоря о перпендикулярных прямых, Евклид потрясающе глубок.

Вообще, понятие прямого угла можно по праву назвать одним из центральных как в геометрии, так и в физике – поскольку наш мир, насколько нам известно, устроен таким образом, что сила тяготения направлена к поверхности планет именно под прямым углом.

В определении 10 Первой книги «Начал» он говорит следующее: «Когда же прямая, восстановленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восстановленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восстановлена.»

Действительно, существует единственный случай, когда две пересекающиеся прямые образуют равные смежные углы – и это ровно тот случай, когда эти прямые пересекаются под прямым углом. В этом и только в этом случае все остальные углы – как смежные, так и вертикальные, оказываются тоже прямыми:

Отсюда, умение определять и строить прямой угол оказывается непосредственно связанным с устойчивостью любых трехмерных конструкций.

Начиная с глубокой древности, плотникам и строителям было известно «правило 3-4-5»: используя веревочку с расположенными на ней на равных расстояниях узелками, можно было без всяких вычислений легко и быстро восстановить перпендикуляр:

Разумеется, за такой «эвристикой» тоже стоит геометрия, и конкретно – теорема Пифагора, которую мы докажем позже.

В первом случае мы строим окружность с центром в произвольной точке М радиусом МР, которая пересечет прямую a в некоторой точке A, и проводим прямую МA до пересечения ее с окружностью в точке P'. Прямая P'P будет искомым перпендикуляром.

Во втором случае мы через точку Р произвольным образом проводим прямую, пересекающую прямую a в некоторой точке A, делим отрезок РA пополам и строим окружность с центром в точке М радиусом МР = МA. Точка пересечения данной окружности с прямой a будет искомой точкой P' прямой PP', перпендикулярной прямой a.

Еще раз подчеркнем, что отсутствие общей точки у двух прямых – это по сути критерий их параллельности. Т.е. параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются – и точка! Часто в этом месте, как ни странно, происходит путаница – либо говорят, что в неевклидовых геометриях параллельные прямые пересекаются, либо пытаются придать этому определению вид утверждения, требующего доказательства: дескать, параллельные прямые не пересекаются – и мы сейчас вам покажем, что это действительно так.

Это означает, что если «падающая на две прямые» прямая образует внутренние углы, равные двум прямым, то такие прямые не «встретятся» никогда, и, следователньо, будут являться параллельными. В частности, если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны:

«Соответственно», имеется три признака параллельности прямых, один из которых (равенство односторонних углов двум прямым), как мы только что видели, есть всего лишь немного иная (в логике ее называют контрапозитивной) формулировка аксиомы о параллельных – в ее, так сказать, «первозданном», или Евклидовом виде.

Сегодня «прямая, падающая на две другие», называется секущей, а образующиеся при этом восемь углов имеют следующие названия:

Два оставшихся признака сформулируем в виде теорем:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

1

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2

Надеемся, что вы без особого труда, но все-таки докажете их самостоятельно.

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

Проведем через точку С треугольника АВС прямую, параллельную стороне АВ.
Тогда углы 1 и 1' равны как соответственные углы при параллельных прямых, а углы 3 и 3' равны как накрест лежащие при параллельных. Соответственно, cумма углов 1', 2 и 3' равна развернутому углу и, соответственно, сумма углов 1, 2 и 3 тоже равна развернутому, или 180 градусам

Вообще, расстоянием между двумя точками называют длину отрезка прямой, соединяющего эти точки. А расстояние от точки А до прямой a равно наименьшему расстоянию от данной точки до точек данной прямой.

В то же время длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую a, будет меньше длины любой наклонной, проведенной из этой же точки к прямой a:

Этот факт проще всего вывести из теоремы Пифагора, которую мы, как и обещали, докажем немного позже. Однако, результатами ее мы воспользуемся снова уже сейчас.
Наклонная АМ есть гипотенуза прямоугольного треугольника АНМ, поскольку АН есть перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую a.

Соответственно, по теореме Пифагора

Здесь мы на время с вами прощаемся, но надеемся, что вы смогли вместе с нами проникнуться важностью той роли, которую играет прямой угол «в жизни общества» – а, значит, и в геометрии…

Итак, расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра проведенного из этой точки к данной прямой.