Умеете ли вы читать графики?
Евклида
Вопрос вполне непраздный. Мы регулярно слышим, что современный мир изобилует информацией, вообще говоря, разного качества.
Часть информации представлена в графическом виде: это и котировки, и колебания температуры, и демографические данные, и всевозможные графики продаж/производства/просмотров и так далее. Безусловно, это удобно и дает сто очков к наглядности, однако у неискушенного зрителя или читателя может породить чувство ложной осведомленности, ведь он своими глазами видел «данные» или «статистику», но что именно было на графике остается для него тайной.
При попытке самому донести какую-то информацию до своих коллег или аудитории, если вы, например, ведете блог, тоже часто хочется прибегнуть к графическому виду. Однако и здесь нас поджидают опасность быть неправильно понятыми и вечный вопрос университетского преподавателя: «А что у Вас по осям?»
Комментарий
Действительно, давайте же разберемся, что у нас по осям. И в целом на графике. Для этого придется немного окунуться в школьную математику.
Часть 1. Когда есть функция.
Несколько вводных замечаний:
Чаще всего график можно увидеть в прямоугольной системе координат. Это значит, что координатные оси пересекаются под прямым углом.
По горизонтальной оси (оси абсцисс), принято откладывать независимую переменную (обычно обозначаем ее x), а по вертикальной (оси ординат) — зависимую (обычно обозначаем ее y или f (x)).
Точка пересечения координатных осей называется началом координат и имеет координаты (0, 0).
Обычно чтобы избежать путаницы, масштаб по осям делают одинаковым. Однако при работе с зависимостями между конкретными, а не абстрактными, величинами (например, зависимость пройденного пути от времени) и масштаб, и названия переменных могут быть любыми.
По горизонтальной оси (оси абсцисс), принято откладывать независимую переменную (обычно обозначаем ее x), а по вертикальной (оси ординат) — зависимую (обычно обозначаем ее y или f (x)).
Точка пересечения координатных осей называется началом координат и имеет координаты (0, 0).
Обычно чтобы избежать путаницы, масштаб по осям делают одинаковым. Однако при работе с зависимостями между конкретными, а не абстрактными, величинами (например, зависимость пройденного пути от времени) и масштаб, и названия переменных могут быть любыми.
Комментарий
Для того чтобы понять, как быть с имеющимися перед глазами графиками или тем более некими полученными данными, которые, как известно, идеально не укладываются ни в одну теорию, рассмотрим вначале графики основных элементарных функций, с которыми все более-менее ясно.
Линейная функция
Линейная функция задается уравнением вида y = kx + b, где x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (функция), k, b — некие действительные числа.
запомним этот факт, он нам пригодится позже.
Графиком линейной функции является прямая, для построения которой достаточно знать 2 пары значений аргумент-функция.
Частным случаем линейной функции является функция вида y = kx, где k ≠ 0, иллюстрирующая прямую пропорциональность. В таком случае, график функции пройдет через начало координат.
Смотрим на графики:
y = 3x, т.о. y = kx при k = 3
Глядя на этот график, мы можем заключить, что при увеличении x растет и y. Такая функция называется возрастающей.
Действительно, при подстановке значений в уравнение y = 3x большему значению x будет соответствовать большее значение y. Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.
y = −0,5x + 1, т.е. y = kx + b при k = −0,5 и b = 1
На этом графике, в отличие от предыдущего, при увеличении xx y уменьшается. Такая функция называется убывающей.
Это также можно проверить подстановкой значений в уравнение y = −0,5x + 1, например при х = 0 р y = 1, а при x = 2 р y = 0
Прямые на графиках можно встретить повсеместно. Прямой пропорциональностью будет, например, зависимость пройденного пути от времени при постоянной скорости движения (разумеется, время всегда неотрицательно, поэтому график будет представлять собой не прямую, а луч, и находиться в правой координатной полуплоскости).
А второй из представленных графиков тоже может в правой полуплоскости иллюстрировать равномерное прямолинейное движение, только по оси ординат будет не пройденный путь, а некая координата движущегося тела. Кроме того, прямая часто используется для описания набора экспериментальных точек, но об этом во второй части статьи.
Степенная функция
Такой график называется параболой, а функция – квадратичной. Обратите внимание, что весь график находится в верхней координатной полуплоскости. Это связано с тем, что квадрат числа всегда неотрицателен.
Аргумент (переменная x) может принимать любые значения, а значения функции (переменная y) всегда больше или равна нулю. В таком случае говорят, что область определения функции (все возможные значения x) – все действительные числа. А область значений функции (все возможные значения y) – все положительные числа и ноль.
Посмотрим на знакомый со школы график:
Рассмотрим общий вид уравнения квадратичной функции и выделим полный квадрат:
Перейдем к нечетным степеням. Начнем с еще одной «школьной» параболы.
Такой график называется кубической параболой.
В данном случае и область определения функции, и область значений функции – все действительные числа.
Комментарий
Как уже было сказано, чтобы более наглядно описать набор экспериментальных точек, для отражения общей закономерности (рост, падение) очень часто используется прямая. Для описания более сложных зависимостей при обработке экспериментальных данных, а также при машинном обучении часто используется кубическая парабола. Линейная комбинация кубических парабол позволяет с хорошей точностью описать практически любую кривую.
Дробно-рациональная функция
Выше мы рассмотрели случай прямой пропорциональности y = kx, где k ≠ 0, когда при увеличении независимой переменной в несколько раз, зависимая увеличится тоже, во столько же раз. Если же при увеличении независимой переменной в несколько раз, зависимая во столько же раз уменьшится, мы имеем дело с обратной пропорциональностью, описываемой уравнением
Посмотрим на график:
Если внимательно посмотреть на гиперболу, можно заметить, что ее ветви неограниченно приближаются в данном случае к координатным осям, но никогда не пересекают их. Прямые, к которым бесконечно приближается график функции, называются асимптотами.
С обратной пропорциональностью мы также имеем дело довольно часто. Если отойти от примеров из механики, то обратно пропорциональными величинами будут, например, число работников и время выполнения работы при одинаковой производительности труда или количество единиц и цена товара, купленного на определенную сумму.
Асимптоты — одна из вещей, позволяющих быстро проверить график функции на «здравый смысл». Иными словами, если при построении зависимости времени работы от числа работников с одинаковой производительностью труда ожидаемая гипербола вдруг пересечет ось абсцисс или ординат, стоит остановиться и искать ошибку, так как что-то явно пошло не так.
Заметим, что обратная пропорциональность является частным случаем дробно-рациональной функции — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.
Графиком дробно-рациональной функции является гипербола, которая может выглядеть, например, так:
Рассмотрим на примере этого графика такое важное понятие, как нули функции. Нули функции – это значения аргумента (переменной x), обращающие функцию в ноль. Геометрический смысл: это абсциссы точек, в которых график пересекает ось абсцисс.
Показательная функция
Иногда о крайне быстром росте одной величины при увеличении другой говорят «растет по экспоненте». Что же это значит?
Посмотрим на график:
Комментарий
С помощью экспоненциальной зависимости описывают, например, рост бактерий в питательной среде, а нули функции опять же позволяют себя проверить на здравый смысл. Если вы описываете рост бактерий и обнаружили у своей экспоненты точку пересечения с осью абсцисс, то либо вы изобрели пенициллин, либо что-то опять пошло не так. Ищите ошибку.
Логарифмическая функция
Обратной функцией к показательной является логарифмическая. Без нее сложно представить очень многие области человеческой деятельности: это и общая химия, и биология, и теория вероятностей, и акустика, и многое другое.
Натуральным логарифмом (ln b) называется логарифм числа b по основанию e.
Смотрим на график:
y = ln x
Здесь наоборот — область значений функции — множество всех действительных чисел, а область определения — множество всех положительных чисел. График полностью лежит в правой координатной полуплоскости. Ось ординат является асимптотой графика.
В отличие от экспоненты функция имеет нуль: x = 1. Заметим, что для логарифмической функции по любому основанию нулем функции будет x = 1, так как любое число, кроме нуля, в нулевой степени есть единица.
Тригонометрические функции
Давайте взглянем на графики y = sin x и y = cos x и сразу поймем, чем они отличаются от всех предыдущих.
Такие графики называются синусоидами, и замечательны они в первую очередь своей периодичностью. Это значит, что и справа, и слева от отрезка, например, от нуля до 2π (напомним, что π ≈ 3,1415) для синей кривой, бесконечно повторяется точно такая же часть кривой. Длина отрезка, который повторяется, называется периодом. И синус, и косинус — периодические функции с периодом 2π, при этом синус — нечетная, а косинус — четная функция.
Значение синусоиды переоценить трудно. Примерами синусоидальных зависимостей могут быть любые колебательные процессы от маятника до звуковых волн, колебания напряжения в сети переменного тока, колебания силы тока и напряжения в колебательном контуре. Кроме того, синусоида является проекцией на плоскость винтовой линии, например, молекул ДНК или РНК.
График функций тангенса и котангенса называется тангенсоидой.
Вопрос
Предлагаем читателям самостоятельно определить период этих функций, а также выяснить, какие прямые будут асимптотами. Для этого вам понадобятся «школьные» определения тангенса и котангенса:
В заключение упомянем еще один инструмент, позволяющий оценить, «что же происходит на графике». Вспомним наши примеры квадратичных функций:
Аналитически экстремумы функции находят с помощью производной, но этой выходит за рамки данной статьи.
Нам важно понимать следующее. Предположим, вам демонстрируют график объема продаж, при этом в последнем месяце вы проводили распродажу (например, «черную пятницу»). Однако вместо ожидаемого максимума (как на графике справа) вы видите минимум (как на графике слева). В таком случае, вы должны понимать, что-либо что-то пошло не так с вашей распродажей, либо с вашими графиками. Ищите ошибку.
Продолжение следует