Теория вероятностей
Необычный раздел высшей математики
Теория вероятностей – необычный раздел высшей математики.
Во-первых, она оперирует необычными объектами – не более привычными нам числами и геометрическими фигурами, а событиями и тесно связанными с ними вероятностями.
Во-вторых, начало формирования ее как науки относится только ко второй половине XVII века, а изложить основы теории вероятностей так, чтобы они были теоретически корректны, понятны и практически полезны, удалось только к первой половине XX века.
Известно, что первыми вероятностными проблемами, привлекшими внимание, стали проблемы, возникающие в азартных играх.
Представим себе древнего игрока в кости, и на этом примере рассмотрим основные понятия теории вероятностей современной.
Основные понятия теории вероятностей – событие, случайность, зависимость, вероятность – строгие математические термины, значащие порой в повседневной речи нечто совсем иное.
Замечание
Итак, в руке игрока три игральные кости, и он делает бросок.
При этом его интересует сумма очков, выпавших на трех костях. С точки зрения теории вероятностей он осуществляет определенный комплекс условий, то есть проводит испытание, опыт, или эксперимент. Явление, которое может произойти или не произойти в результате испытания, в теории вероятностей называется событием.
Примерами событий при броске трех костей могут быть: «выпало 5 очков» или «выпало 10 очков». Несвязанные с игрой в кости примеры событий: «выпала решка при игре в орлянку», «из колоды достали карту трефовой масти», «ровно два клиента из пяти обратились в одну и ту же фирму».
Будем называть достоверным такое событие, которое обязательно произойдет в данном испытании.
Например, игрок в кости может быть уверен, что при броске трех костей выпадет от 3 до 18 очков. Это достоверное событие.
Невозможным событием назовем такое, которое в данном испытании заведомо не произойдет.
Например, выпадение 2 очков или 20 очков при броске трех костей.
Отдельно отметим, что определенный результат испытания (например, выпадение 3 очков при броске кубика) называется элементарным исходом.
При этом событие может состоять как из одного, так и из нескольких элементарных исходов. Например, достоверное событие «выпало от 1 до 6 очков при броске кости» состоит из 6 элементарных исходов и называется сложным событием. А невозможное событие «выпало 8 очков при броске кости» состоит из одного, пусть и невозможного, элементарного исхода и является элементарным событием.
Предположим, наш древний игрок размышляет перед броском о возможности «выбросить» ту или иную комбинацию.
Если нет объективных оснований считать, что одно событие более возможно, чем другое, события называются равновозможными. Например, нет оснований считать, что при броске одного кубика возможность выпадения трех очков выше, чем, скажем, пяти. Разумеется, мы считаем, что кубик «честный», что для древней игры в кости, вообще говоря, было не обязательно. Возможности событий при броске нескольких кубиков рассмотрим ниже.
Кроме того, совершенно очевидно, что при броске трех кубиков нельзя получить одновременно, скажем, и 9, и 10 очков.
Такие события, которые не могут произойти в одном испытании, называются несовместными. Некоторые из несовместных событий противоположны – одно происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое.
Хорошо иллюстрирует противоположные события бросок монеты: орел выпадает тогда и только тогда, когда не выпадает решка. В игре в кости при броске трех кубиков противоположными событиями будут, например, «выпало 9 очков» и «выпало число очков от 3 до 18, отличное от 9».
Про основные понятия теории вероятностей рассказываем в видео «Теория вероятностей. Введение»
Видео «Теория вероятностей. Введение»
Наконец, переходим собственно к вероятностям.
Вероятность события A обычно обозначают P(A). Подсчет всех возможных элементарных исходов испытания, а также исходов испытания, благоприятствующих событию A (элементарные исходы, составляющие данное событие), позволит нам ввести классическое определение вероятности.
Определение
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих событию A, n – общее число всех возможных элементарных исходов.
Для начала подсчитаем вероятность достоверного события, например, вероятность того, что при броске кости выпадет от 1 до 6 очков.
Общее число элементарных исходов n = 6, число элементарных исходов, при которых происходит событие «выпало от 1 до 6 очков», m = 6, тогда
Вероятность достоверного события всегда равна 1.
Теперь подсчитаем вероятность невозможного события, например, вероятность того, что при броске кости выпадет 8 очков.
Общее число элементарных исходов n = 6, число элементарных исходов, при которых происходит событие «выпало 8 очков», m = 0, тогда
Вероятность невозможного события всегда равна 0.
В общем случае, для некого события A, которое может произойти, а может и не произойти 0 ≤ P(A) ≤ 1
Предлагаем вам к просмотру видео, чтобы закрепить прочитанное
«Что такое вероятность»
«Что такое вероятность»
Видео «Что такое вероятность»
Рассчитаем, например, вероятность того, что при броске кубика выпадет четное число.
Вернемся теперь к нашему броску трех кубиков.
Попытка подсчитать вероятность выпадения, например, 9 или 10 очков, считая выпадение 3, 4 … 18 очков шестнадцатью элементарными исходами, приведет к ошибке.
Дело в том, что классическое определение вероятности можно использовать тогда и только тогда, когда элементарных исходов конечное число, они равновозможны, взаимно несовместны и полностью описывают все возможные результаты испытания.
В качестве элементарных исходов можно рассмотреть все возможные комбинации, которые могут дать три кости, то есть 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 1 и так далее.
Можно рассуждать так. И 9, и 10 очков можно получить шестью способами при броске трех кубиков. Действительно,
9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 4 + 5 = 1 + 3 + 6 = 2 + 4 + 4 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 3 + 3 + 4
Значит, и 9, и 10 очков при броске трех кубиков одинаково возможны. Но и здесь нас подстерегла ошибка.
9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 4 + 5 = 1 + 3 + 6 = 2 + 4 + 4 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 3 + 3 + 4
Значит, и 9, и 10 очков при броске трех кубиков одинаково возможны. Но и здесь нас подстерегла ошибка.
Можно рассуждать так. И 9, и 10 очков можно получить шестью способами при броске трех кубиков. Действительно,
9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 2 + 6 =
= 1 + 3 + 5 = 2 + 2 + 5 =
= 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 4 + 5 = 1 + 3 + 6 =
= 2 + 4 + 4 = 2 + 2 + 6 =
= 2 + 3 + 5 = 3 + 3 + 4
Значит, и 9, и 10 очков при броске трех кубиков одинаково возможны. Но и здесь нас подстерегла ошибка.
9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 2 + 6 =
= 1 + 3 + 5 = 2 + 2 + 5 =
= 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 4 + 5 = 1 + 3 + 6 =
= 2 + 4 + 4 = 2 + 2 + 6 =
= 2 + 3 + 5 = 3 + 3 + 4
Значит, и 9, и 10 очков при броске трех кубиков одинаково возможны. Но и здесь нас подстерегла ошибка.
Стоит отметить, что корректный подсчет вероятностей иногда совсем не интуитивная задача. Например, числовая мера возможности выпадения различных комбинаций трех кубиков (предшественник вероятности) была правильно подсчитана только в XIII веке.
Замечание
Число всех элементарных исходов при броске трех костей равно
n = 6 × 6 × 6 = 216
n = 6 × 6 × 6 = 216
Теперь рассмотрим число элементарных исходов, благоприятствующих событию «выпало 9 очков» и событию «выпало 10 очков».
Чтобы избежать ошибок, нужно учитывать порядок слагаемых, так как например 9 очков можно получить следующими суммами: 1 + 2 + 6, 1 + 6 + 2, 2 + 1 + 6, 2 + 6 + 1, 6 + 1 + 2, 6 + 2 + 1, и все эти элементарные исходы различны.
Для 9 очков:
m = 1 + 4 + 4 = 4 + 1 + 4 = 4 + 4 + 1 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 2 + 5 + 2 = 5 + 2 + 2 =
= 1 + 2 + 6 = 1 + 6 + 2 = 2 + 1 + 6 = 2 + 6 + 1 = 6 + 1 + 2 = 6 + 2 + 1 = 1 + 3 + 5 = 1 + 5 + 3 =
= 3 + 1 + 5 = 3 + 5 + 1 = 5 + 1 + 3 = 5 + 3 + 1 = 2 + 3 + 4 = 2 + 4 + 3 = 3 + 2 + 4 = 3 + 4 + 2 = = 4 + 2 + 3 = 4 + 3 + 2 (25 способов)
Для 9 очков:
m = 1 + 4 + 4 = 4 + 1 + 4 = 4 + 4 + 1 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 2 + 5 + 2 = 5 + 2 + 2 =
= 1 + 2 + 6 = 1 + 6 + 2 = 2 + 1 + 6 = 2 + 6 + 1 = 6 + 1 + 2 = 6 + 2 + 1 = 1 + 3 + 5 = 1 + 5 + 3 =
= 3 + 1 + 5 = 3 + 5 + 1 = 5 + 1 + 3 = 5 + 3 + 1 = 2 + 3 + 4 = 2 + 4 + 3 = 3 + 2 + 4 = 3 + 4 + 2 = = 4 + 2 + 3 = 4 + 3 + 2 (25 способов)
Чтобы избежать ошибок, нужно учитывать порядок слагаемых, так как например 9 очков можно получить следующими суммами: 1 + 2 + 6, 1 + 6 + 2, 2 + 1 + 6, 2 + 6 + 1, 6 + 1 + 2, 6 + 2 + 1, и все эти элементарные исходы различны.
Для 9 очков:
m = 1 + 4 + 4 = 4 + 1 + 4 = 4 + 4 + 1 =
= 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 2 + 5 + 2 =
= 5 + 2 + 2 = 1 + 2 + 6 = 1 + 6 + 2 =
= 2 + 1 + 6 = 2 + 6 + 1 = 6 + 1 + 2 =
= 6 + 2 + 1 = 1 + 3 + 5 = 1 + 5 + 3 =
= 3 + 1 + 5 = 3 + 5 + 1 = 5 + 1 + 3 =
= 5 + 3 + 1 = 2 + 3 + 4 = 2 + 4 + 3 =
= 3 + 2 + 4 = 3 + 4 + 2 = 4 + 2 + 3 =
= 4 + 3 + 2 (25 способов)
Для 9 очков:
m = 1 + 4 + 4 = 4 + 1 + 4 = 4 + 4 + 1 =
= 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 2 + 5 + 2 =
= 5 + 2 + 2 = 1 + 2 + 6 = 1 + 6 + 2 =
= 2 + 1 + 6 = 2 + 6 + 1 = 6 + 1 + 2 =
= 6 + 2 + 1 = 1 + 3 + 5 = 1 + 5 + 3 =
= 3 + 1 + 5 = 3 + 5 + 1 = 5 + 1 + 3 =
= 5 + 3 + 1 = 2 + 3 + 4 = 2 + 4 + 3 =
= 3 + 2 + 4 = 3 + 4 + 2 = 4 + 2 + 3 =
= 4 + 3 + 2 (25 способов)
Для 10 очков:
m = 2 + 4 + 4 = 4 + 2 + 4 = 4 + 4 + 2 = 2 + 2 + 6 = 2 + 6 + 2 = 6 + 2 + 2 = 3 + 3 + 4 =
= 4 + 3 + 3 = 3 + 4 + 3 = 1 + 4 + 5 = 1 + 5 + 4 = 4 + 1 + 5 = 4 + 5 + 1 = 5 + 1 + 4 = 5 + 4 + 1 =
= 2 + 3 + 5 = 2 + 5 + 3 = 3 + 2 + 5 = 3 + 5 + 2 = 5 + 2 + 3 = 5 + 3 + 2 = 1 + 3 + 6 = 1 + 6 + 3 =
= 3 + 1 + 6 = 3 + 6 + 1 = 6 + 1 + 3 = 6 + 3 + 1 (27 способов)
m = 2 + 4 + 4 = 4 + 2 + 4 = 4 + 4 + 2 = 2 + 2 + 6 = 2 + 6 + 2 = 6 + 2 + 2 = 3 + 3 + 4 =
= 4 + 3 + 3 = 3 + 4 + 3 = 1 + 4 + 5 = 1 + 5 + 4 = 4 + 1 + 5 = 4 + 5 + 1 = 5 + 1 + 4 = 5 + 4 + 1 =
= 2 + 3 + 5 = 2 + 5 + 3 = 3 + 2 + 5 = 3 + 5 + 2 = 5 + 2 + 3 = 5 + 3 + 2 = 1 + 3 + 6 = 1 + 6 + 3 =
= 3 + 1 + 6 = 3 + 6 + 1 = 6 + 1 + 3 = 6 + 3 + 1 (27 способов)
Для 10 очков:
m = 2 + 4 + 4 = 4 + 2 + 4 =
= 4 + 4 + 2 = 2 + 2 + 6 = 2 + 6 + 2 =
= 6 + 2 + 2 = 3 + 3 + 4 = 4 + 3 + 3 =
= 3 + 4 + 3 = 1 + 4 + 5 = 1 + 5 + 4 =
= 4 + 1 + 5 = 4 + 5 + 1 = 5 + 1 + 4 =
= 5 + 4 + 1 = 2 + 3 + 5 = 2 + 5 + 3 =
= 3 + 2 + 5 = 3 + 5 + 2 = 5 + 2 + 3 =
= 5 + 3 + 2 = 1 + 3 + 6 = 1 + 6 + 3 =
= 3 + 1 + 6 = 3 + 6 + 1 = 6 + 1 + 3 =
= 6 + 3 + 1 (27 способов)
m = 2 + 4 + 4 = 4 + 2 + 4 =
= 4 + 4 + 2 = 2 + 2 + 6 = 2 + 6 + 2 =
= 6 + 2 + 2 = 3 + 3 + 4 = 4 + 3 + 3 =
= 3 + 4 + 3 = 1 + 4 + 5 = 1 + 5 + 4 =
= 4 + 1 + 5 = 4 + 5 + 1 = 5 + 1 + 4 =
= 5 + 4 + 1 = 2 + 3 + 5 = 2 + 5 + 3 =
= 3 + 2 + 5 = 3 + 5 + 2 = 5 + 2 + 3 =
= 5 + 3 + 2 = 1 + 3 + 6 = 1 + 6 + 3 =
= 3 + 1 + 6 = 3 + 6 + 1 = 6 + 1 + 3 =
= 6 + 3 + 1 (27 способов)
Таким образом, искомые вероятности:
Значит, при бросании трех костей шанс выбросить 10 очков выше, чем 9 очков.
Теперь оставим нашего древнего игрока в кости размышлять над полученными результатами, а сами двинемся дальше.
Как мы уже сказали выше, классическое определение вероятности имеет некоторые ограничения, в частности, элементарных исходов должно быть конечное число.
Однако, легко представить себе испытание, в котором количество равновероятных элементарных исходов бесконечно, например, случайный выбор точки на отрезке или внутри треугольника.
Для подобных испытаний можно ввести геометрическое определение вероятности:
Геометрическое определение вероятности:
а) для одномерного случая (отрезки на прямой)
а) для одномерного случая (отрезки на прямой)
где l(A) – длина, соответствующая исходам, благоприятствующим событию A, L – длина, соответствующая общему числу всех возможных элементарных исходов;
б) для двумерного случая (фигуры на плоскости)
б) для двумерного случая (фигуры на плоскости)
Определение
где s(A) – площадь, соответствующая исходам, благоприятствующим событию A, S – площадь, соответствующая общему числу всех возможных элементарных исходов;
в) для трехмерного случая (тела в объеме)
в) для трехмерного случая (тела в объеме)
где v(A) – объем, соответствующий исходам, благоприятствующим событию A, V – объем, соответствующий общему числу всех возможных элементарных исходов.
Предположим, нужно найти вероятность обрыва кабеля длиной 100 метров на участке между 30 и 35 метром.
Длина, соответствующая всем элементарным исходам, Длина, соответствующая исходам, L = 100 м, благоприятствующим искомому событию, l("обрыв произошел между 30 и 35 метром") = 35 − 30 = 5 метров.
Длина, соответствующая всем элементарным исходам, Длина, соответствующая исходам, L = 100 м, благоприятствующим искомому событию, l("обрыв произошел между 30 и 35 метром") =
= 35 − 30 = 5 метров.
= 35 − 30 = 5 метров.
Рассмотрим другое определение вероятности события A.
Предположим, что элементарные исходы, благоприятствующие событию A, или все возможные элементарные исходы подсчитать невозможно, зато есть возможность произвести много одинаковых испытаний и подсчитать сколько раз произойдет и не произойдет событие A. Введем понятие относительной частоты события A:
где n(A) – число испытаний, в которых событие A произошло, N – общее число испытаний.
Замечание
Замечание
Интересным примером одновременного применения геометрического и статистического подходов к вероятности является задача Бюффона о бросании иглы.
Впрочем, эта задача выходит за рамки введения в теорию вероятностей. Эту задачу мы рассмотрим отдельно – как пример, иллюстрирующий метод Монте-Карло.
С течением времени, несмотря на развитие классических разделов теории вероятностей, росло число парадоксов и внутренних противоречий, и стало ясно, что теория вероятностей нуждается в аксиоматике, так же как, например, геометрия или алгебра.
Общепринятую ныне аксиоматику теории вероятностей предложил советский математик А.Н. Колмогоров на стыке 20-30-х годов XX века. Углубляться в аксиоматику Колмогорова мы не станем, заметим только, что она создана с использованием идей теории множеств.
Переформулируем теперь основные определения теории вероятностей, данные выше, с использованием языка теории множеств.
В таком случае, функция P(ω)
называется вероятностью на множестве Ω, а пара из множества Ω и функции P(ω) называется конечным вероятностным пространством.
называется вероятностью на множестве Ω, а пара из множества Ω и функции P(ω) называется конечным вероятностным пространством.
Событием называется произвольное множество, состоящее из элементарных исходов, то есть любое подмножество Ω.
Пустое множество Ø называется недостоверным (невозможным) событием, а все множество Ω – достоверным событием.
Одной из основных задач теории вероятностей является расчет вероятностей сложных событий, когда известны другие вероятности. В таком случае, полезно ввести операции между событиями, и тут нам на помощь снова придет теория множеств.
Суммой (объединением) событий A и B назовем такое событие, что происходит хотя бы одно из событий A или B (либо A, либо B, либо A и B сразу).
Произведением (пересечением) событий A и B назовем такое событие AB (A ⋂ B), что происходят A и B одновременно.
А про вероятность сложных событий рассказываем в видео «Теория вероятностей. Представление вероятности через сумму других вероятностей»
Видео «Теория вероятностей. Представление вероятности через сумму других вероятностей»
Вернемся ненадолго к игроку в кости с тремя кубиками и представим, что событие A – «сумма выпавших очков кратна 2», а событие B – «сумма выпавших очков кратна 3», тогда A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
В таком случае A + B = {3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}
AB = {6, 12, 18}
AB = {6, 12, 18}
В таком случае A + B = {3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}
AB = {6, 12, 18}
AB = {6, 12, 18}
При подсчете вероятности сложных событий на основании других вероятностей необходимо также учитывать зависимость событий.
В заключение дадим понятие независимых событий, строгое определение которых будет дано позднее. Событие A не зависит от события B, если появление события B не меняет вероятности события A.
Примером независимых событий являются выпадения разных сумм очков при последовательных бросках трех кубиков. Поэтому неправ незадачливый древний игрок, раз за разом пытающийся получить, скажем 9 очков, полагая, что с каждым разом приближает появление заветной суммы.
Смотрите также про зависимые и независимые события на нашем YouTube «Зависимые и независимые события»
Видео «Зависимые и независимые события»
Справочный материал