В качестве чрезвычайно наглядного примера предлагаем вам представить себе множество, состоящее из бесконечного числа коробок, в каждой из которых находится по паре ботинок. Очевидно, что мы легко можем выбрать из такой бесконечной совокупности ровно по одному ботинку из каждой коробки, всякий раз вынимая, ну, скажем, правый ботинок. Однако если ботинки заменить шнурками, то наше правило оказывается неприменимым: более того, несмотря на кажущуюся простоту операции, такого правила мы никогда не построим — поэтому его существование и приходится предполагать аксиоматически.
Можно возразить, что мы могли бы перенумеровать шнурки и все время выбирать шнурок номер один, но сделать этого мы также не можем: поскольку множество пар шнурков бесконечно, наша процедура нумерации никогда не закончится. Утверждение же о том, что мы в принципе способны осуществить подобную процедуру (любое множество может быть вполне упорядочено), называется теоремой Цермело и оказывается эквивалентной аксиоме выбора.