Логическая эквивалентность прямой и конрапозитивной теорем очень часто используется в математических доказательствах, поскольку контрапозитивный вариант часто оказывается гораздо легче доказать.
Например, теоретико-числовое утверждение о том, что если квадрат числа нечетный, то само число нечетно, «в лоб» доказать довольно непросто (попробуйте, кстати, это сделать). Вместо этого можно доказать эквивалентное утверждение: если число четно,
то квадрат его четный.
Вот это последнее суждение представляет собой
самостоятельную теорему, контрапозитивный вариант
которой мы сейчас и докажем.
Сначала переформулируем утверждение надлежащим образом. Оно будет звучать так:
Каким бы сложным ни было доказательство самой теоремы, довольно легко понять, что доказывать ее имеет смысл только для n = 4 и простых показателей n ≥ 3, поскольку
если теорема Ферма верна для некоторого n, то она будет верна и для любого показателя αn, кратного n.