СЕЧЕНИЕ

C

(ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ)

Сечением для стрелки f : A B в теории категорий называется стрелка s: B A такая, что
То есть, для некоторого морфизма f это обратный справа морфизм.
Несмотря на сжатость определения, указанное в нем тождество налагает на морфизм f определённые условия, которые содержат некоторую информацию о нем.
Определение
На примере хорошо видно, в частности, что если функция f имеет хотя бы одно сечение, то каждый элемент множества В имеет свой прообраз в А. Другими словами, f является отображением на все множество, или эпиморфизмом.
Это значит, что назначение такого морфизма не может иметь размер, больший его источника, и если множество А значительно превосходит множество В по количеству элементов, то прообразы элементов В будут содержать более одного элемента из А.
Поэтому иногда сечение ещё называют выбором представителей, хотя само слово «сечение» несет в себе
и очевидно геометрический оттенок.
Его можно сделать еще более явным, представив себе исходное отображение f как некоторую проекцию, а само сечение – действительно как рассечение,
или поперечный срез сколь-угодно причудливой формы почти
в буквальном смысле:
помните, эпиморфизм и мономорфизм определялись ранее нами
как такого вида стрелки, что в определенных тождествах было
допустимо сокращение, соответственно, справа и слева:
Подробнее о специального вида стрелках см. Здесь
– сейчас происходит то же самое, только вместо сокращения справа сама стрелка определяется как элемент, обратный справа.
И так же как эпиморфизм и мономорфизм были с такой точки зрения двойственными по отношению друг к другу стрелками, существует
и стрелка, двойственная по отношению к сечению – она называется ретракцией и определяется как обратный слева для некоторого морфизма морфизм.
Обратите внимание на то естественное единообразие в определениях, к которому приводит категорный формализм:
Из диаграмм становится ясно, что f не может «склеивать» элементы, т. е. f - мономорфизм, а в терминах теории категорий, где все определяется через те или иные стрелки, мы можем утверждать, что в таком случае А – это подмножество В (строго говоря – подобъект, но сейчас это неважно).
Так, если у нас имеется следующая композиция стрелок
Давайте посмотрим, что сообщает нам о морфизме f информация о наличии у него ретракции r :

то g является сечением для f и, одновременно, f является ретракцией для g.

В заключение отметим, что если у стрелки f существует одновременно и сечение s, и ретракция r, то r = s. Что, в свою очередь, означает , что f – изоморфизм.
Сможете сами увидеть, почему?

Заключение
Доказательство