Таким образом, в отличие от полного порядка, частичный порядок допускает несравнимость элементов, что делает частично упорядоченные множества, как это ни покажется странным, крайне удобным инструментом современной логики.
Дело в том, что, скажем, множество всех подмножеств некоторого множества оказывается не только частично упорядоченным по включению, но и образует так называемый булеан – поскольку на этом множестве подмножеств возникает структура булевой алгебры, которая в логике является моделью для классической логики высказываний. Вот, например, как будет выглядеть булеан трехэлементного множества M = {1, 2, 3}:
Как и на предыдущей диаграмме, стрелками здесь показаны отношения между сравнимыми элементами. И, как и на предыдущей диаграмме, мы видим, что далеко не все элементы здесь оказываются сравнимы: синглетон {2}, скажем, не включен (не является его подмножеством) в множество {1,3}; множества {1,3} и {2,3} также не являются подмножествами друг друга, и т. д.
Не углубляясь в детали соответствия между теоретико-множественными и логическими операциями, отметим лишь то, что в классической логике отрицание отрицания равно утверждению, и поэтому в ней, в частности, допустимы доказательства от противного. В булевой алгебре отрицание моделируется дополнением: дополнение множества {1,3} до M – это {2}, а дополнение {2} до M – снова {1,3}. Это не всегда удобно и более того, не всегда корректно с логической точки зрения.