Шварца сапог
Ш
Определение
«Шварца сапог» – конструкция, предложенная в 1890 году немецким математиком Германом Шварцем как контрпример, опровергающий возможность определения площади произвольной поверхности как предела площади вписанных в нее многоугольников.
Казалось, что это противоречит интуиции, поскольку длина произвольной кривой линии может быть корректно определена как предел длин вписанных в нее ломаных.
Сказанное, конечно, требует пояснений. Давайте вникнем в то, как практически осуществляется триангуляция поверхности цилиндра. Идея приближения ее площади все более и более уменьшающимися треугольниками реализуется следующим образом: цилиндр высотой h сечется на n горизонтальных частей (см. рисунок), а в окружности, лежащие в основаниях образовавшихся тонких цилиндров, вписываются m-угольники.
Теперь, казалось бы, дело за малым – нужно посчитать площадь одного треугольника и сложить общее их число – очевидно, что в каждом ряду их будет 2m штук.
В результате все треугольники располагаются под некоторым углом по отношению к стенке цилиндра, и их высота будет немного больше высоты тонкого цилиндра.
Это, правда, не значит, что мы не можем сосчитать и ее – на рисунке ниже искомая высота треугольника обозначена через l, а его основание – это сторона m-угольника PQ:
Заметим еще такую штуку: есть такое тригонометрическое тождество
Ну, а поскольку теорема Пифагора в тригонометрической форме выглядит как
то, собирая все это вместе, имеем:
Теперь у нас все готово, чтобы собрать формулу для триангулированной поверхности:
Смотрите, что произойдет, если мы устремим n и m к бесконечности:
После всех преобразований получается, что
n и m – независимые параметры!
И мы не знаем, с какой скоростью каждый из них будет стремиться к бесконечности.
В результате оказываются возможны три совершенно различных случая:
В результате оказываются возможны три совершенно различных случая:
Это аналитически. А геометрически наша конструкция в последних двух случаях будет все больше и больше складываться в гармошку наподобие кирзового сапога – отсюда и такое самобытное название – поскольку при таком неравномерном увеличении n и m треугольники будут все больше и больше наклоняться в сторону центра цилиндра, и одновременно будет неограниченно увеличиваться их высота l, а с ней, разумеется, и площадь.