Абсолютная геометрия
А
Определение
Абсолютная геометрия – совокупность утверждений, которые могут быть доказаны в некоторой системе геометрических аксиом без использования постулата Евклида о параллельных или эквивалентной ему аксиомы.
Традиционно предполагалось, что доказательства утверждений абсолютной геометрии используют только первые четыре постулата Евклида (см. здесь), однако, поскольку впоследствии была обнаружена недостаточность постулатов Евклида для вывода всех геометрических утверждений, то сейчас под абсолютной геометрией понимаются более современные аксиоматические системы (вроде Гильбертовой), также не включающие в себя аксиому о параллельных.
Совокупность выводимых из такой системы аксиом положений еще иногда называют нейтральной геометрией, имея в виду, что она является нейтральной в отношении аксиомы параллельных и, таким образом, содержит положения, общие как для евклидовой геометрии, так и для геометрии Лобачевского.
Первые 28 предложений первой книги «Начал» Евклида (скачать книгу) получены им без опоры на Пятый постулат. Построение из Предложения 31 (построение прямой, проходящей через данную точку, и параллельной данной прямой) также может быть выполнено без использования аксиомы о параллельных: достаточно из данной точки Р опустить на данную прямую l перпендикуляр m, а затем восстановить перпендикуляр n к прямой m из точки Р. Тогда, по доказанному ранее Предложению 27, прямые l и n будут параллельны.
Более того, в абсолютной геометрии выводимо утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные одной и той прямой, не могут пересекаться. Из чего следует, что, в отличие от Евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского, абсолютная геометрия не является частью геометрии Римановой, в которой любые две прямые пересекаются.
