Лобачевского плоскость

Л
Определение
Формально, пространство Лобачевского  это поверхность любого n-мерного тела с постоянной отрицательной кривизной. Это весьма абстрактная конструкция, которой сложно оперировать в воображении.
Мы предлагаем вашему вниманию простую и наглядную модель плоскости Лобачевского, которую еще иногда называют проективной моделью, или моделью Бельтрами-Клейна (по имени двух математиков, независимо предложивших ее):
Плоскость Лобачевского бесконечна и гиперболически вогнута – в результате чего через данную точку можно провести бесконечно много прямых линий, параллельных данной прямой a. Но оказывается, такую плоскость можно спроектировать на внутренность обычного круга, граничные точки которого будут играть роль бесконечно удаленных точек плоскости Лобачевского. Как видно из рисунка, на таком круге через точку Р можно действительно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную, или пересекающих ее в бесконечно удаленной точке.
Чтобы такая проективная модель была полноценной моделью геометрии Лобачевского, на ней нужно, прежде всего, определить расстояние  и это было довольно хитроумно сделано с использованием логарифма двойного отношения (См. Здесь). В результате расстояние между двумя точками очень быстро увеличивается по мере приближения одной из них к границе круга и становится равным бесконечности, когда одна из точек оказывается на самой границе.