Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.

Aвтоморфизм

A
Если совсем просто,
то это отображение ƒ множества A в себя, сохраняющее имеющуюся
на этом множестве структуру.
На языке теории категорий автоморфизм определяется особенно изящно:
это морфизм ƒ: АA, являющийся изоморфизмом.
Определение
Помните мы уже много раз говорили о важности тождественной функции, или морфизма, смысл которого как будто бы тривиален — это приказ  «ничего не трогать», оставить объект A без изменений. Если мы обозначим такой  приказ как 1, то категорное определение автоморфизма будет выглядеть так:
Стрелка
автоморфизм, если существует
такая, что
стрелка
Кружочком, как обычно, обозначается последовательность,
или композиция отображений
Если объект А — это множество без структуры,
то автоморфизм ƒ это просто какая-то перестановка элементов множества.
Например, такая:
Сохранение структуры сложения означает, что ƒ (+ m) должно быть равно ƒ (n)  (m). Убедитесь сами, что других автоморфизмов на таком множестве нет. Более того, если бы мы захотели, чтобы  сохранялось еще и  умножение, то  и ƒ (n) = n перестало бы удовлетворять этому требованию — таким образом, нетривиальных автоморфизмов на  множестве целых чисел, которые  бы сохраняли все  арифметические операции, вообще нет.
Тогда важно лишь, чтобы ƒ было обратимо, т. е. чтобы существовало правило g, по которому мы всегда могли бы «вернуться» обратно. Обратите внимание, что в нашем примере g = ƒ: проверьте, что действительно
Но если объект А — это, скажем, целые числа со структурой сложения, то  единственной «перестановкой» множества целых чисел, которая сохраняла бы эту  структуру, помимо тождественной, будет функция ƒ (n) = n.
И таких перестановок
на множествах
очень много — для любого множества из n элементов их  n!
А вот на множестве комплексных чисел есть — это так называемый автоморфизм сопряжения z: С → С, который каждому комплексному числу z = a + bi ставит в соответствие число z = a − bi, расположенное на комплексной плоскости симметрично относительно вещественной оси.
Вообще же, если у объекта с богатой структурой существуют, тем не менее, автоморфизмы, то их число можно рассматривать как меру чисто алгебраической симметрии объекта, которая зачастую не сводится к симметрии пространственной.

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?