Aвтоморфизм

Если совсем просто,
то это отображение ƒ множества A в себя, сохраняющее имеющуюся
на этом множестве структуру.

На языке теории категорий автоморфизм определяется особенно изящно:
это морфизм ƒ: А → A, являющийся изоморфизмом.

Определение

Автоморфизм — это разновидность функции или, если речь идет о теории категорий — морфизма, т. е. стрелки (о том, что такое категория, смотрите подробно здесь), обладающей некоторыми очень важными свойствами.

Помните мы уже много раз говорили о важности тождественной функции, или морфизма, смысл которого как будто бы тривиален — это приказ «ничего не трогать», оставить объект A без изменений. Если мы обозначим такой приказ как 1ₐ , то категорное определение автоморфизма будет выглядеть так:

Стрелка

автоморфизм, если существует

такая, что

стрелка

Кружочком, как обычно, обозначается последовательность,
или композиция отображений

Если объект А — это множество без структуры,
то автоморфизм ƒ — это просто какая-то перестановка элементов множества.

Например, такая:

Сохранение структуры сложения означает, что ƒ (n + m) должно быть равно ƒ (n) +ƒ (m). Убедитесь сами, что других автоморфизмов на таком множестве нет. Более того, если бы мы захотели, чтобы сохранялось еще и умножение, то и ƒ (n) = −n перестало бы удовлетворять этому требованию — таким образом, нетривиальных автоморфизмов на множестве целых чисел, которые бы сохраняли все арифметические операции, вообще нет.

Тогда важно лишь, чтобы ƒ было обратимо, т. е. чтобы существовало правило g, по которому мы всегда могли бы «вернуться» обратно. Обратите внимание, что в нашем примере g = ƒ: проверьте, что действительно

Но если объект А — это, скажем, целые числа со структурой сложения, то единственной «перестановкой» множества целых чисел, которая сохраняла бы эту структуру, помимо тождественной, будет функция ƒ (n) = −n.

И таких перестановок
на множествах
очень много — для любого множества из n элементов их n!

А вот на множестве комплексных чисел есть — это так называемый автоморфизм сопряжения z: С → С, который каждому комплексному числу z = a + bi ставит в соответствие число z = a − bi, расположенное на комплексной плоскости симметрично относительно вещественной оси.

Вообще же, если у объекта с богатой структурой существуют, тем не менее, автоморфизмы, то их число можно рассматривать как меру чисто алгебраической симметрии объекта, которая зачастую не сводится к симметрии пространственной.

Написать в чат

Есть вопросы по материалу?

Вы можете задать их в нашем специальном чате. Мы поможем разобраться в теме лучше

Понравилась статья?