Content Oriented Web
Make great presentations, longreads, and landing pages, as well as photo stories, blogs, lookbooks, and all other kinds of content oriented projects.
Материалы по подписке
Предел функции,
производная.
Основная теорема математического анализа
Итак, мы остановились на том, что предмет математического анализа – это, по преимуществу, анализ функций, как-то отображающих множество действительных чисел в него же.
Очень близкими к ним являются понятия предела функции и непрерывной функции.
Мы видели, что само устройство множества действительных чисел естественным образом приводит нас к понятиям предела числовой последовательности и непрерывности множества действительных чисел.
Прочитать про понятия предела числовой последовательности можно здесь:
Статья «Элементарное введение в математический анализ»
Понятие предела функции является фундаментальным для математического анализа, поскольку с его помощью можно исследовать поведение функции при стремлении ее аргумента к некоторой точке.
Определение
Иначе говоря, число L – предел функции f(x), если при стремлении ее аргумента x к x₀ значения функции f(x) стремятся к L.
Записывают это так:
То есть, значения f(x) мы можем сделать сколь-угодно близкими к L (значение ошибки [error] ε может быть сколь-угодно мало), если подойдем достаточно близко к точке x₀ (расстояние [distance] δ будет достаточно мало), при этом все же не достигая ее, поскольку в самой точке x₀ функция может значения и не иметь.
При этом в точке x₀ = 0 функция f(x) не определена.
*
Комментарий
*
Комментарий
Формальное определение непрерывности теснейшим образом связано с понятием предела.
Определение
Определение
Возможно, данное определение пока не вызывает к жизни никаких наглядных образов, поэтому мы приведем еще одно определение, использующее уже знакомый нам из определения предела так называемый εδ формализм.
Определение
То есть для любой заданной величины ошибки, на которую значение f(x) отличается от значения f(x₀) мы всегда сможем отступить от аргумента x₀ на такое расстояние, внутри которого для всех x значения функции будут отличаться от f(x₀) не более, чем на эту величину ошибки.
ε δ формализм
Говорят также, что функция непрерывна в точке, если малым приращениям (незначительным изменениям) аргумента соответствует малые приращения (незначительные изменения) значения функции.
!
!
Глобально же понятие непрерывности можно сформулировать следующим образом: функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке Х.

Заметьте, что все эти определения являются локальными, так как говорят о непрерывности в окрестности какой-то конкретной точки.
Представьте себе, что поезд Сапсан едет из Санкт-Петербурга в Москву, а мы находимся в кабине машиниста, в которой по каким-то причинам отсутствуют окна.
Добавим еще наглядности.
И поскольку в окно нам не посмотреть, мы не можем непосредственно убедиться в том, где находится поезд. Но у нас с собой часы, и мы через каждый небольшой промежуток времени записываем показания спидометра, строя таким образом функцию скорости v(t):

Ну такой вот необычный Сапсан… Очевидно, что скорость поезда не постоянна – он то набирает ее, то замедляется, следуя сигналам светофоров, то делает остановки.
Полагая скорость постоянной на каждом из маленьких временных отрезков, мы можем посчитать, насколько далеко продвинулся поезд за время △t, поскольку пройденный путь равен скорости, умноженной на время движения с этой скоростью: s = v t.
Если промежутки времени были достаточно малы, то, суммируя полученные значения, мы будем знать, где находится поезд, практически в любое время:

Геометрически это будет соответствовать площади прямоугольника с основанием △t и высотой, равной v(t) на данном промежутке времени.

s = Σv(t) ∙ △t.
Суммирование, при котором величина промежутков времени устремлена к нулю, называется интегрированием.

Опять-таки, геометрически интегрирование – это вычисление площади под графиком кривой (в данном случае – скорости).

С другой стороны, мы могли начать и с кривой пути s(t)

Гиганты Ньютон и Лейбниц, на плечах которых стоим мы, рассуждали примерно следующим образом: мгновенную скорость в момент времени t₀ можно себе мыслить как изменение пути
s = s(t) − s(t₀), которое произошло за бесконечно малый промежуток времени
t = tt₀.
Исаак Ньютон
Готфрид Лейбниц

Обратимся снова к геометрическому образу:

И это в точности есть определение производной функции s(t), т. е. мгновенная скорость есть производная пути и она равна тангенсу наклона касательной к графику в данной точке:
Таким образом, интегрируя мгновенную скорость как производную пути мы смогли восстановить исходную функцию пути! В этом и есть суть Основной теоремы математического анализа, которая постулирует теснейшую связь операций дифференцирования и интегрирования, оказывающихся по сути обратными друг к другу.

Если вместо функции пути мы станем рассмотрим произвольную непрерывную функцию f(x), представляющую некоторый процесс, то ее производную также разумно понимать как скорость изменения данного процесса, и которая, по определению, равна

Определение
Основная же теорема математического анализа тогда может быть записана следующим образом:

Это так называемая Первая часть Основной теоремы математического анализа.

В следующий раз мы рассмотрим вторую ее часть и более подробно поговорим об интегралах.
Понравилась статья?