Итак, мы остановились на том, что предмет математического анализа – это, по преимуществу, анализ функций, как-то отображающих множество действительных чисел в него же.

Очень близкими к ним являются понятия предела функции и непрерывной функции.

Мы видели, что само устройство множества действительных чисел естественным образом приводит нас к понятиям предела числовой последовательности и непрерывности множества действительных чисел.

Прочитать про понятия предела числовой последовательности можно здесь:

Статья «Элементарное введение в математический анализ»

Понятие предела функции является фундаментальным для математического анализа, поскольку с его помощью можно исследовать поведение функции при стремлении ее аргумента к некоторой точке.

Определение

Иначе говоря, число L – предел функции f(x), если при стремлении ее аргумента x к x₀ значения функции f(x) стремятся к L.

Записывают это так:

То есть, значения f(x) мы можем сделать сколь-угодно близкими к L (значение ошибки [error] ε может быть сколь-угодно мало), если подойдем достаточно близко к точке x₀ (расстояние [distance] δ будет достаточно мало), при этом все же не достигая ее, поскольку в самой точке x₀ функция может значения и не иметь.

Формальное определение непрерывности теснейшим образом связано с понятием предела.

Возможно, данное определение пока не вызывает к жизни никаких наглядных образов, поэтому мы приведем еще одно определение, использующее уже знакомый нам из определения предела так называемый ε − δ формализм.

Определение

То есть для любой заданной величины ошибки, на которую значение f(x) отличается от значения f(x₀) мы всегда сможем отступить от аргумента x₀ на такое расстояние, внутри которого для всех x значения функции будут отличаться от f(x₀) не более, чем на эту величину ошибки.

ε − δ формализм

Говорят также, что функция непрерывна в точке, если малым приращениям (незначительным изменениям) аргумента соответствует малые приращения (незначительные изменения) значения функции.

Глобально же понятие непрерывности можно сформулировать следующим образом: функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке Х.

Заметьте, что все эти определения являются локальными, так как говорят о непрерывности в окрестности какой-то конкретной точки.

Представьте себе, что поезд Сапсан едет из Санкт-Петербурга в Москву, а мы находимся в кабине машиниста, в которой по каким-то причинам отсутствуют окна.

Добавим еще наглядности.

И поскольку в окно нам не посмотреть, мы не можем непосредственно убедиться в том, где находится поезд. Но у нас с собой часы, и мы через каждый небольшой промежуток времени записываем показания спидометра, строя таким образом функцию скорости v(t):

Ну такой вот необычный Сапсан… Очевидно, что скорость поезда не постоянна – он то набирает ее, то замедляется, следуя сигналам светофоров, то делает остановки.

Полагая скорость постоянной на каждом из маленьких временных отрезков, мы можем посчитать, насколько далеко продвинулся поезд за время △t, поскольку пройденный путь равен скорости, умноженной на время движения с этой скоростью: s = v ∙ t.

Если промежутки времени были достаточно малы, то, суммируя полученные значения, мы будем знать, где находится поезд, практически в любое время:

Геометрически это будет соответствовать площади прямоугольника с основанием △t и высотой, равной v(t) на данном промежутке времени.

s = Σv(t) ∙ △t.

Суммирование, при котором величина промежутков времени устремлена к нулю, называется интегрированием.

Опять-таки, геометрически интегрирование – это вычисление площади под графиком кривой (в данном случае – скорости).

С другой стороны, мы могли начать и с кривой пути s(t)

Гиганты Ньютон и Лейбниц, на плечах которых стоим мы, рассуждали примерно следующим образом: мгновенную скорость в момент времени t₀ можно себе мыслить как изменение пути
△s = s(t) − s(t₀), которое произошло за бесконечно малый промежуток времени
△t = t − t₀.

Исаак Ньютон

Готфрид Лейбниц

Обратимся снова к геометрическому образу:

И это в точности есть определение производной функции s(t), т. е. мгновенная скорость есть производная пути и она равна тангенсу наклона касательной к графику в данной точке:

Таким образом, интегрируя мгновенную скорость как производную пути мы смогли восстановить исходную функцию пути! В этом и есть суть Основной теоремы математического анализа, которая постулирует теснейшую связь операций дифференцирования и интегрирования, оказывающихся по сути обратными друг к другу.

Если вместо функции пути мы станем рассмотрим произвольную непрерывную функцию f(x), представляющую некоторый процесс, то ее производную также разумно понимать как скорость изменения данного процесса, и которая, по определению, равна

Определение

Основная же теорема математического анализа тогда может быть записана следующим образом:

Это так называемая Первая часть Основной теоремы математического анализа.

В следующий раз мы рассмотрим вторую ее часть и более подробно поговорим об интегралах.