И таких перестановок
на множествах
очень много — для любого множества из
n элементов их n!
Сохранение структуры сложения означает, что ƒ (n + m) должно быть равно ƒ (n) +ƒ (m). Убедитесь сами, что других автоморфизмов на таком множестве нет. Более того, если бы мы захотели, чтобы сохранялось еще и умножение, то и ƒ (n) = −n перестало бы удовлетворять этому требованию — таким образом, нетривиальных автоморфизмов на множестве целых чисел, которые бы сохраняли все арифметические операции, вообще нет.
Тогда важно лишь, чтобы ƒ было обратимо, т. е. чтобы существовало правило g, по которому мы всегда могли бы «вернуться» обратно. Обратите внимание, что в нашем примере g = ƒ: проверьте, что действительно
Но если объект А — это, скажем, целые числа со структурой сложения, то единственной «перестановкой» множества целых чисел, которая сохраняла бы эту структуру, помимо тождественной, будет функция ƒ (n) = −n.