Тавтология

Т

(Логика)

Тавтологией в логике, в отличие от филологии, называют не лексическую ошибку или риторический прием, состоящие в избыточном повторении совпадающих или близких по значению слов (масло масляное, подарить в дар, спросить вопрос и т.п.), а так называемое тождественно-истинное высказывание. Другими словами, тавтология для логиков – это синоним истины, но опять-таки истины логической.
Определение
A A
Пожалуй, самыми известными логическими истинами являются логические законы – скажем, закон тождества и закон исключенного третьего:
А или не-А (A ∨ ¬ A)
если А, то А (A A)
Давайте посмотрим, что же это такое.
Почему же эти законы называют тождественно-истинными? А потому, что их истинность не зависит от истинности входящих в них компонент.
То есть тавтология «если А, то А», как это ни тривиально, истина всегда.
Вот в таких случаях и говорят, что истинность сложного высказывания не зависит от истинности входящих в него компонент.
Тут конечно без некоторых технических деталей нам не обойтись, и самой главной из них будет то, что формальную логику, по самому ее определению, не волнует содержание высказываний – поэтому высказывания и можно заменить буквами, или переменными, которые принимают лишь два значения: истина и ложь.
С такой формализованной точки зрения, закон тождества A A это функция от двух переменных, заданная на множестве {И, Л} × {И, Л}, и действующая в точно такое же множество {И, Л}. Такие функции называют булево-значными.
В статье о противоположной теореме (см. здесь) мы уже касались того, как устроена булево-значная функция импликации ➝: она ложна, только когда посылка ложна, а заключение истинно, но такого варианта нам не может встретиться, если и посылка, и заключение совпадают. Поэтому таблица истинности для импликации «если А, то А» будет выглядеть совсем просто:
A ∨ ¬A
¬A
AB

Когда в статье про противоположную теорему мы доказывали эквивалентность прямой и контрапозитивной теорем, мы по сути тоже доказывали, что высказывание вида
PQ...... ¬ Q ➝ ¬ P является тавтологией.
В принципе, чтобы понять, что выражения типа «Дождь идет или не идет», или «Этот шар либо является белым, либо белым не является» покрывают собой все множество возможных исходов и, таким образом, являются истинными во всех возможных случаях, не обязательно строить таблицы и исследовать булево-значные функции. Это вроде бы и так видно. Но как в логике, так и в математике любая теорема – это, сторого говоря, всегда тавтология, а произвольные теоремы могут выглядеть весьма вычурно.
Для этого нам понадобится таблица истинности другой логической функции – дизъюнкции, или логического «или» – ∨. По смыслу того, что утверждается в этом сложном высказывании, дизъюнкция будет ложной, только если оба дизъюнкта ложны – в самом деле, если мы говорим, что «этот шар или черный, или металлический», то мы соврем только в том случае, когда шар окажется ни тем, ни другим:
Соответственно, и в случае закона исключенного третьего нам не могут встретиться два ложных дизъюнкта, так как второй есть логическое отрицание первого:
То есть закон исключенного третьего – тоже тавтология.
Такие, например, как закон Пирса
((А В) ➝ А) ➝ А, или даже привычный многим дедуктивный вывод ((A B) ∧A) ➝B – формализованный аналог рассуждения типа «если человек, то смертный, и Сократ – человек, то Сократ смертен».

Давайте точно таким же образом проверим, действительно ли является тождественно-истинным высказыванием, или тавтологией закон исключенного третьего.
Поэтому будем все же последовательными и докажем все строго.

P Q
(P Q) ➝ ( ¬Q ➝¬ P)
¬Q ➝¬ P
¬Q
¬P
Давайте сделаем это еще раз хотя бы в одну сторону, сведя все распределения истинностных значений в одну таблицу:
А вам, любезный читатель, мы советуем самостоятельно проверить, что импликация в другую сторону (а эквивалентность – это не что иное, как импликации в обе стороны) тоже является тавтологией, а также составить таблицы истинности для двух приведенных нами выше примеров логических теорем.