Когда в статье про противоположную теорему мы доказывали эквивалентность прямой и контрапозитивной теорем, мы по сути тоже доказывали, что высказывание вида
P ➝ Q...... ¬ Q ➝ ¬ P является тавтологией.
В принципе, чтобы понять, что выражения типа «Дождь идет или не идет», или «Этот шар либо является белым, либо белым не является» покрывают собой все множество возможных исходов и, таким образом, являются истинными во всех возможных случаях, не обязательно строить таблицы и исследовать булево-значные функции. Это вроде бы и так видно. Но как в логике, так и в математике любая теорема – это, сторого говоря, всегда тавтология, а произвольные теоремы могут выглядеть весьма вычурно.
Для этого нам понадобится таблица истинности другой логической функции – дизъюнкции, или логического «или» – ∨. По смыслу того, что утверждается в этом сложном высказывании, дизъюнкция будет ложной, только если оба дизъюнкта ложны – в самом деле, если мы говорим, что «этот шар или черный, или металлический», то мы соврем только в том случае, когда шар окажется ни тем, ни другим:
Соответственно, и в случае закона исключенного третьего нам не могут встретиться два ложных дизъюнкта, так как второй есть логическое отрицание первого:
То есть закон исключенного третьего – тоже тавтология.
Такие, например, как закон Пирса
((А ➝ В) ➝ А) ➝ А, или даже привычный многим дедуктивный вывод ((A ➝ B) ∧A) ➝B – формализованный аналог рассуждения типа «если человек, то смертный, и Сократ – человек, то Сократ смертен».
Давайте точно таким же образом проверим, действительно ли является тождественно-истинным высказыванием, или тавтологией закон исключенного третьего.
Поэтому будем все же последовательными и докажем все строго.