Юнга диаграммы

Ю
Рассказывает Илья Муромец, как он сражался с Лернейской гидрой:
— Отрубаю ей голову – на её месте четыре вырастают. Четыре отрубаю – три вырастают. Три отрубаю – семь вырастают.
— Ну и что?
— Полчаса рубил – никакой закономерности!
(Реальный случай)
Определение
Вообще говоря, диаграмма Юнга – это конечный набор ячеек или клеток, выровненных по левой границе, длины строк в котором нестрого упорядочены по убыванию (см. рисунок вверху).
В теории чисел есть такое понятие – разбиение (partition) числа n. Разбиение n – это его представление в виде суммы натуральных слагаемых, или частей:
Приведем последовательность значений функции разбиения для n от 0 до 30
Но вот оказывается, что число разбиений n в точности совпадает с числом диаграмм Юнга, которые можно составить из n клеток (длины строк диаграммы будут соответствовать частям разбиения), и для малых их довольно легко сосчитать:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, …
Никакой выраженной закономерности среди этих чисел заметить пока не удалось.
Задание
Диаграммы были предложены в 1900 году английским математиком Альфредом Юнгом – причем, с целью более наглядного изучения представлений симметрических групп. Таким образом, казалось бы, сугубо комбинаторный объект неожиданно нашел свое применение в абстрактной алгебре.
Как же связаны разбиения, диаграммы Юнга и симметрические группы?
В частности, симметрическая группа S₃ (подробно см. здесь) содержит 6 перестановок, которые можно мыслить себе как перестановки вершин равностороннего треугольника или как его симметрии (отсюда и название групп – симметрические). (См. Группа).
Каждая такая перестановка – это функция из множества вершин треугольника в себя. Заметьте, что функций из трехэлементного множества в трехэлементное множество должно быть 3³ = 27. Однако, перестановок всего шесть. Значит, не любая функция – перестановка. Вопрос – какая это функция? (Ответ: это биекция, или автоморфизм.)
Есть несколько общепринятых записей для перестановки. Одна из них: это запись в виде подстановки, когда в одном ряду записываются элементы в исходной позиции, а под ним – те, в которые они переходят:
Но есть и другая форма записи: запись в виде циклов – когда мы фиксируем какой-то произвольный элемент и следим за его «следом» под действием данной перестановки до тех пор, пока эта процедура не замкнется в цикл (отсюда и название этой формы записи), затем поступаем также с каким-то элементом из оставшихся и т. д.
Если мы то же самое проделаем, скажем, с перестановкой σ₅, то мы увидим, что в ней вообще всего один цикл:
И вот мы подходим к самому важному – к циклической структуре перестановок.
И то же верно в отношении перестановок σ₅ и σ₆ (сможете ли вы самостоятельно определить, что это за симметрии?).
Такие элементы группы, которые «в чем-то похожи» или «делают то же самое», в теории групп называют сопряженными (conjugate), и любая группа может быть разбита на некоторое число смежных (непересекающихся) классов сопряженности. И то, сколько в группе классов сопряженности, тоже многое сообщает о структуре всей группы.
Общее определение сопряженности выглядит довольно техническим, но можно показать, что две перестановки принадлежат одному и тому же классу сопряженности в том и только в том случае, если они имеют одну и ту же циклическую структуру.
Ну, а чему равно число разбиений p(n) мы уже видели – количеству диаграмм Юнга, которые можно составить из n ячеек.
Задание
Запишете в циклической форме записи по одной перестановке с разной циклической структурой из каждого класса сопряженности в группе S₄.