Ядро гомоморфизма
Я
Определение
Почему мы, дойдя до последней буквы нашего словаря, заговорили именно о ядре гомоморфизма?
Предположим, что R и S – кольца.
Мы считаем, что настало время познакомиться с этим важнейшим объектом современной абстрактной алгебры.
Итак, в самом общем смысле кольцо R – это:
- абелева группа по сложению (см. группа)
- моноид по умножению (см. моноид)
Вспомните, пожалуйста, оба этих определения. Но и просто держа перед глазами множество целых чисел как образец кольца, можно понять, что в кольце присутствует 0 (как нейтральный элемент группы) и 1 (как нейтральный элемент моноида);
- умножение в кольце дистрибутивно, т. е.
В определении моноида не требуется, чтобы умножение в нем было коммутативным, но мы пока будем рассматривать только коммутативные кольца – если не оговорено иное.
Важное замечание
Что мы можем сказать о том, как устроено это ядро?
Таким образом, ядро гомоморфизма колец есть идеал.
Предлагаем вам обратиться к словарной статье «Фактормножество» и посмотреть на приводимые в ней примеры как на факторкольца по соответствующим идеалам:
И наоборот: если какие-то два элемента в факторкольце «склеились» (отождествились), то значит, что их разность лежит в идеале.
